Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):2y-z+3=0\) và điểm \(A(2;0;0)\). Mặt

Câu hỏi số 257264:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):2y-z+3=0\) và điểm \(A(2;0;0)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)đi qua A, vuông góc với \(\left( P \right)\), cách gốc tọa độ O một khoảng bằng \(\frac{4}{3}\) và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C khác O. Thể tích khối tứ diện OABC bằng

16.

\(\frac{8}{3}\).

D. \(\frac{16}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257264

Phương pháp giải

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

- Tìm tọa độ giao điểm B, C của \(\left( \alpha \right)\) với trục Oy, Oz.

- Tính thể tích khối tứ diện vuông OABC: \(V=\frac{1}{6}.OA.OB.OC\).

Giải chi tiết

Giả sử \(\overrightarrow{n}(a;b;c),\,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)\) là một vecto pháp tuyến của (P).

Vì \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A(2;0;0)\) nên PTTQ của (P): \(a(x-2)+b(y-0)+c(z-0)=0\Leftrightarrow ax+by+cz-2a=0\)

Vì \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\left( \alpha \right)\)nên \(\overrightarrow{n}(a;b;c)\)vuông góc với \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}(0;2;-1)\). Khi đó, \(0.a+2.b+(-1).c=0\Leftrightarrow c=2b\)

\(\Rightarrow \left( \alpha \right):\,\,ax+by+2bz-2a=0\,\)

\(d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{\left| -2a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4{{b}^{2}}}}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow {{(6a)}^{2}}=16({{a}^{2}}+5{{b}^{2}})\Leftrightarrow {{a}^{2}}=4{{b}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} a=2b \\ a=-2b \\ \end{align} \right.\)

Cho

\(b = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow n (2;1;2)\\\overrightarrow n ( - 2;1;2)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( \alpha \right):2x + y + 2z - 4 = 0\\\left( \alpha \right): - 2x + y + 2z + 4 = 0\end{array} \right.\)

+) \(\left( \alpha \right):2x+y+2z-4=0\Rightarrow B\left( 0;4;0 \right),\,C\left( 0;0;2 \right)\Rightarrow {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.\left| 2 \right|.\left| 4 \right|.\left| 2 \right|=\frac{8}{3}\)

+) \(\left( \alpha \right):-2x+y+2z+4=0\Rightarrow B\left( 0;-4;0 \right),\,C\left( 0;0;-2 \right)\Rightarrow {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}.\left| 2 \right|.\left| -4 \right|.\left| -2 \right|=\frac{8}{3}\)

Vậy thể tích khối tứ diện OABC là \(\frac{8}{3}\).

Chọn: C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.