Hai dao động điều hòa thành phần cùng phương, có phương trình \({x_1} = {A_1}\cos (\omega t +

Câu hỏi số 258033:

Vận dụng

Hai dao động điều hòa thành phần cùng phương, có phương trình

\({x_1} = {A_1}\cos (\omega t + \frac{\pi }{3})(cm)\)

,\({x_2} = {A_2}\cos (\omega t - \frac{\pi }{4})(cm)\)

. Biết phương trình dao động tổng hợp là

\(x = 5\cos (\omega t + \varphi )(cm)\)

. Để ( A₁ +A₂) có giá trị cực đại thì φ có giá trị là

A.
\(\frac{\pi }{{12}}\)

B.
\(\frac{{5\pi }}{{12}}\)

C.
\(\frac{\pi }{{24}}\)

D.
\(\frac{\pi }{6}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258033

Phương pháp giải

sử dụng phương pháp Freshnel về tổng hợp hai dao động điều hòa và biến đổi đại số, bất đẳng thức Cosi

Giải chi tiết

Áp dụng công thức Freshnel về tổng hợp dao động ta có:

\(\begin{gathered}
{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2.{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi \hfill \\
{A^2} = {({A_1} + {A_2})^2} - 2{A_1}{A_2} + 2.{A_1}{A_2}.\cos \Delta \varphi \hfill \\
{A^2} = {({A_1} + {A_2})^2} + 2.{A_1}{A_2}(\cos \Delta \varphi - 1) * \hfill \\
\end{gathered} \)

Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

\(\begin{gathered}
{A_1} + {A_2} \geqslant 2\sqrt {{A_1}{A_2}} \Leftrightarrow {({A_1} + {A_2})^2} \geqslant 4{A_1}{A_2} \hfill \\
= > {A_1}{A_2} \leqslant \frac{{{{({A_1} + {A_2})}^2}}}{4} \hfill \\
\end{gathered} \)

Thay vào biểu thức *, chú ý rằng biểu thức

\(\begin{gathered}
\cos \Delta \varphi - 1 \leqslant 1 \hfill \\
= > * \Leftrightarrow {A^2} \geqslant {({A_1} + {A_2})^2} - 2(1 - \cos \Delta \varphi ).\frac{{{{({A_1} + {A_2})}^2}}}{4} \hfill \\
{A^2} \geqslant \frac{1}{2}{({A_1} + {A_2})^2}.(\cos \Delta \varphi + 1) \hfill \\
= > {({A_1} + {A_2})^2} \leqslant \frac{{2.{A^2}}}{{(\cos \Delta \varphi + 1)}} \hfill \\
\end{gathered} \)

Vậy giá trị cực đại của

\({A_1} + {A_2} = \frac{{\sqrt 2 .A}}{{\sqrt {1 + \cos \Delta \varphi } }}\) khi và chỉ khi A₁ = A₂

Khi đó ta có :

\(\tan \varphi = \frac{{\sin {\varphi _1} + \sin {\varphi _2}}}{{\cos {\varphi _1} + \cos {\varphi _2}}} = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}{{1 + \sqrt 2 }} = > \varphi = \frac{\pi }{{24}}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.