Cho phương trình \(\sin x\left( 2-\cos 2x \right)-2\left( 2{{\cos }^{3}}x+m+1 \right)\sqrt{2{{\cos

Câu hỏi số 258518:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(\sin x\left( 2-\cos 2x \right)-2\left( 2{{\cos }^{3}}x+m+1 \right)\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}=3\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\) có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình trên có đúng một nghiệm \(x\in \left[ 0;\,\frac{2\pi }{3} \right)\) ?

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258518

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm đại diện để đưa về phương trình cơ bản và cô lập tham số m, khảo sát hàm số để biện luận nghiệm phương trình trên khoảng

Giải chi tiết

Đặt \(a=\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\ge 0\Leftrightarrow 2{{\cos }^{3}}x+m+1={{a}^{2}}-1.\)

Khi đó phương trình trở thành: \(\sin x\left( 2-\cos 2x \right)-2\left( {{a}^{2}}-1 \right)a=3a\Leftrightarrow \,\,\sin x\left( 1+2{{\sin }^{2}}x \right)=2{{a}^{3}}+a\Leftrightarrow \,\,2{{\sin }^{3}}x+\sin x=2{{a}^{3}}+a.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t\) trên \(\left( -\,\infty ;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0;\,\,\forall t\in \mathbb{R}.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( -\,\infty ;+\,\infty \right)\) mà \(f\left( \sin x \right)=f\left( a \right)\Leftrightarrow \,\,\sin x=a\) \(\Leftrightarrow \,\,\sin x=\sqrt{2{{\cos }^{3}}x+m+2}\Leftrightarrow \,\,{{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{3}}x+m+2\Leftrightarrow \,\,m=-\,2{{\cos }^{3}}x+{{\cos }^{2}}x-1\) \(\left( * \right).\)

Đặt \(u=\cos x,\) với \(x\in \left[ 0;\frac{2\pi }{3} \right)\Rightarrow \,\,u\in \left( -\frac{1}{2};1 \right],\) khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \,\,m=f\left( u \right)=-\,2{{u}^{3}}-{{u}^{2}}-1.\)

Xét hàm số \(f\left( u \right)=-\,2{{u}^{3}}-{{u}^{2}}-1\) trên \(\left( -\frac{1}{2};1 \right],\) có \({f}'\left( u \right)=-\,6{{u}^{2}}-2u=0\Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{align} & u=0 \\ & u=-\frac{1}{3} \\ \end{align} \right..\)

Lập bảng biến thiên, suy ra để \(m=f\left( u \right)\) có nghiệm thuộc \(\left( -\frac{1}{2};1 \right]\Leftrightarrow \,\,\)\(-\frac{28}{27}\le m\le -\,4.\)

Kết hợp điều kiện \(m\in \mathbb{Z}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,m=\left\{ -\,1;-\,2;-\,3;-\,4 \right\}\) là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.