Biết \(\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\frac{{{\pi

Câu hỏi số 258517:

Vận dụng cao

Biết \(\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\frac{{{\pi }^{a}}}{b}\) với \(a,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(P=2a+b\).

A. \(P=8.\)

B. \(P=10.\)

C. \(P=6.\)

D. \(P=12.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258517

Phương pháp giải

Đổi biến số với tích phân đặc biệt, đưa về tính tích phân đơn giản

Giải chi tiết

Đặt \(t=\pi -x\Leftrightarrow \)\(\text{d}x=-\,\text{d}t\) và đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=0\,\,\Rightarrow \,\,t=\pi \\ & x=\pi \,\,\Rightarrow \,\,t=0 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(I=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=\int\limits_{\pi }^{0}{\frac{\left( \pi -t \right){{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)\left( -\,\text{d}t \right)}{{{\sin }^{2018}}\left( \pi -t \right)+{{\cos }^{2018}}\left( \pi -t \right)}}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\left( \pi -x \right){{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}\).

Từ đó suy ra \(2I=\pi \int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x=\pi {{I}_{1}}}\) với \({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}.\)

Đặt \(t=\frac{\pi }{2}-x\), khi đó tích phân \({{I}_{1}}\) trở thành \({{I}_{1}}=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{-\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2018}}\left( \frac{\pi }{2}-t \right)}{{{\sin }^{2018}}\left( \frac{\pi }{2}-t \right)+{{\cos }^{2018}}\left( \frac{\pi }{2}-t \right)}\left( -\,\text{d}t \right)}\) \(=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\cos }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}\)\(=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\cos }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}\)

Suy ra \(2{{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\cos }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{{{\sin }^{2018}}x}{{{\sin }^{2018}}x+{{\cos }^{2018}}x}\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{d}x}=\pi \) \(\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{\pi }{2}\). Khi đó \(2I=\pi {{I}_{1}}=\pi \cdot \frac{\pi }{2}\Rightarrow I=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\).

Vậy \(a=2,\,\,b=4\)\(\Rightarrow P=2a+b=8\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.