Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x

Câu hỏi số 258833:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ 1;4 \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right)=\frac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{x}\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

A. \(I=3+2{{\ln }^{2}}2\).

B. \(I=2{{\ln }^{2}}2\)

C. \(I={{\ln }^{2}}2\)

D. \(I=2\ln 2\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258833

Phương pháp giải

Lấy tích phân hai vế và đổi biến số đưa về cùng một tích phân

Giải chi tiết

Ta có \(\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}\) \(=\int\limits_{1}^{4}{\left[ \frac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{x} \right]\text{d}x}\)\(=\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}\text{d}x}+\int\limits_{1}^{4}{\frac{\ln x}{x}\text{d}x}\).

Xét \(K=\int\limits_{1}^{4}{\frac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}\text{d}x}\). Đặt \(2\sqrt{x}-1=t\) \(\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{t+1}{2}\)\(\Rightarrow \frac{\text{d}x}{\sqrt{x}}=\text{d}t\)\(\Rightarrow K=\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)\text{d}t}\)\(=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}\).

Xét \(M=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\ln x}{x}\text{d}x}\)\(=\int\limits_{1}^{4}{\ln x\text{d}\left( \ln x \right)}\)\(=\left. \frac{{{\ln }^{2}}x}{2} \right|_{1}^{4}=\)\(2{{\ln }^{2}}2\)

Do đó \(\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}+2{{\ln }^{2}}2\)\(\Rightarrow \int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=2{{\ln }^{2}}2\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.