Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1;2;\,-3 \right)\) và mặt phẳng \(\left(

Câu hỏi số 258835:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( 1;2;\,-3 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x+2y-z+9=0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x+4y-4z+5=0\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại \(B\). Điểm \(M\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(M\) luôn nhìn \(AB\) dưới góc vuông và độ dài \(MB\) lớn nhất. Tính độ dài \(MB\).

A. \(MB=\frac{\sqrt{41}}{2}\).

B. \(MB=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

C. \(MB=\sqrt{5}\)

D. \(MB=\sqrt{41}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258835

Phương pháp giải

Dựa vào yếu tố vuông góc để xác định vị trí điểm M khi MB đạt giá trị lớn nhất

Giải chi tiết

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( 1;2;-3 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)\)có phương trình là \(\left\{ \begin{align} & x=1+3t \\ & y=2+4t \\ & z=-3-4t \\ \end{align} \right.\).

Ta có: \(M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}\). Do đó \(M{{B}_{\max }}\) khi và chỉ khi \(M{{A}_{\min }}\).

Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\). Ta có: \(AM\ge AE\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(M\equiv E\).

Khi đó \(M{{A}_{\min }}=AE\) và \(MB\) qua \(B\) nhận \(\overrightarrow{BE}\) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \(B\in d\) nên \(B\left( 1+3t;2+4t;-3-4t \right)\) mà \(B\in \left( P \right)\) suy ra:

\(2\left( 1+3t \right)+2\left( 2+4t \right)-\left( -3-4t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-1\)\(\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right)\).

Đường thẳng \(AE\) qua \(A\left( 1;2;-3 \right)\), nhận \(\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;2;-1 \right)\) có phương trình là\(\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=2+2t \\ & z=-3-t \\ \end{align} \right.\)

Suy ra \(E\left( 1+2t;2+2t;-3-t \right)\).

Mặt khác, \(E\in \left( P \right)\) nên \(2\left( 1+2t \right)+2\left( 2+2t \right)-\left( -3-t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-2\)\(\Rightarrow E\left( -3;-2;-1 \right)\).

Khi đó \(MB=BE=\sqrt{5}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.