Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\),

Câu hỏi số 258836:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \({B}'{C}'\). Mặt phẳng \(\left( {A}'MN \right)\) cắt cạnh \(BC\) tại \(P\). Tính thể tích của khối đa diện \(MBP.{A}'{B}'N\)

A. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).

B. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}\)

C. \(\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}\).

D. \(\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{32}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258836

Phương pháp giải

Xác định thiết diện và áp dụng công thức tỉ số thể tích để tìm thế tích khối đa diện

Giải chi tiết

Gọi \(S\) là giao điểm của \({A}'M\) và \(B{B}'\), khi đó \(P\) là giao điểm \(SN\) và \(BC\).

Dễ dàng chứng minh được

\(\Delta AMA'=\Delta BMS\left( g.c.g \right)\Rightarrow AA'=SB;\,\,A'M=SM\).

Dễ thấy MP // A’N \(\Rightarrow \frac{SP}{SN}=\frac{SM}{SA'}=\frac{1}{2}\)

Ta có \(\frac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\frac{SM}{S{A}'}.\frac{SB}{S{B}'}.\frac{SP}{SN}=\frac{1}{8}\)\(\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\frac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\frac{7}{8}\).

\({{V}_{S{A}'{B}'N}}=\frac{1}{3}S{B}'.{{S}_{\Delta {A}'{B}'N}}\)\(=\frac{1}{3}S{B}'.\frac{1}{2}{A}'{B}'.{B}'N\sin 60{}^\circ \)\(=\frac{1}{6}2a.a.\frac{a}{2}\sin 60{}^\circ \)\(=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

\(\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\frac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\frac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.