Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng \(\left( SAB

Câu hỏi số 258837:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là tứ giác lồi và góc tạo bởi các mặt phẳng \(\left( SAB \right)\), \(\left( SBC \right)\), \(\left( SCD \right)\), \(\left( SDA \right)\) với mặt đáy lần lượt là \(90{}^\circ \), \(60{}^\circ \), \(60{}^\circ \), \(60{}^\circ \). Biết rằng tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), \(AB=a\) và chu vi tứ giác \(ABCD\) là \(9a\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

A. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}\).

B. \(V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\).

C. \(V=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}\).

D. \(V={{a}^{3}}\sqrt{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:258837

Phương pháp giải

Xác định chiều cao, diện tích đáy qua yếu tố chu vi và góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\). Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SI\bot AB\) và \(SI=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Mặt khác \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\) nên \(SI\bot \left( ABCD \right)\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V=\frac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}\).

Kẻ \(IH\bot BC\) ta có góc giữa \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) là \(\widehat{SHI}\). Do các mặt \(\left( SBC \right)\), \(\left( SCD \right)\), \(\left( SDA \right)\) tạo với \(\left( ABCD \right)\) các góc bằng nhau và bằng \(60{}^\circ \) nên các khoảng cách từ \(I\) đến các cạnh \(CD\), \(DA\) bằng nhau và bằng \(IH\). Ta có \(\widehat{SHI}=60{}^\circ \) nên \(IH=SI.\cot 60{}^\circ \)\(=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}}\)\(=\frac{a\sqrt{6}}{6}\).

Diện tích \({{S}_{ABCD}}=\)\(\frac{1}{2}\left( BC+CD+DA \right).HI\)\(=\frac{1}{2}\left( 9a-AB \right).\frac{a\sqrt{6}}{6}\)\(=\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{6}}{3}\).

Vậy \(V=\frac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}\)\(=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2}\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{6}}{3}\)\(=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.