Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi ABCDE có các đỉnh A, B, C, D, E đều là điểm nguyên.

Câu hỏi số 259189:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồi ABCDE có các đỉnh A, B, C, D, E đều là điểm nguyên. Chứng minh rằng có ít nhất một điểm nguyên M nằm bên trong hoặc thuộc cạnh của ngũ giác đã cho, với M khác các đỉnh của ngũ giác đã cho.

(Mọi điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ đều là số nguyên).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259189

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lí ngăn kéo Dirchlet: Nếu một số lượng n vật thể được đặt vào m chuồng bồ câu, với điều kiện \(n > m\), thì ít nhất một chuồng bồ câu sẽ có nhiều hơn 1 vật thể.

Giải chi tiết

Trong năm điểm A, B, C, D, E theo nguyên lí Dirchlet thì có ít nhất 3 điểm có hoành độ cùng tính chẵn lẻ. Xét các trường hợp sau:

TH1: Giả sử tồn tại 3 điểm có cùng hoành độ là số chẵn. Khi đó trong 3 điểm này có ít nhất 2 điểm có tung độ cùng tính chẵn lẻ. Khi đó trung điểm của hai điểm này có tọa độ nguyên. Do ABCDE là ngũ giác lồi, do đó trung điểm của 2 đỉnh bất kì luôn nằm trong hoặc thuộc cạnh, không trùng với đỉnh.

TH2: Giả sử tồn tại 3 điểm có hoành độ lẻ. Khi đó trong 3 điểm này có ít nhất 2 điểm có tung độ cùng tính chẵn lẻ. Khi đó trung điểm của 2 điểm này có tọa độ nguyên. Do ABCDE là ngũ giác lồi, do đó trung điểm của 2 đỉnh bất kì nằm trong hoặc thuộc cạnh không trùng với đỉnh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link