Cho tam giác ABC có 3 góc \(\widehat {CAB};\widehat {ABC};\widehat {BCA}\) đều là góc nhọn. Đường tròn

Câu hỏi số 259193:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC có 3 góc \(\widehat {CAB};\widehat {ABC};\widehat {BCA}\) đều là góc nhọn. Đường tròn tâm O bán kính BC cắt 2 cạnh AB, AC lần lượt tại M và N (M khác B và N khác C). Hai tia phân giác của 2 góc: \(\widehat {CAB},\widehat {OMN}\) cắt nhau tại P.

a) Chứng minh: \(\widehat {CAB} = \widehat {OMN}\) và tứ giác AMPN là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi Q là giao điểm 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP và CNP và Q khác P. Chứng minh rằng 3 điểm B, Q, C thẳng hàng.

c) Gọi \({O_1};{O_2};{O_3}\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ba tam giác AMN, BMP và CNP. Chứng minh rằng 4 điểm \(O;{O_1};{O_2};{O_3}\) cùng thuộc một đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259193

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\widehat {AMN} = \widehat {BCA};\,\,\widehat {BMO} = \widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {OMN} = \widehat {CAB}\). Chứng minh tứ giác AMPN có hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau.

b) Chứng minh \(\widehat {BQP} + \widehat {CQP} = {180^0}.\)

c) Chứng minh tứ giác \(O{O_2}{O_1}{O_3}\) là tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

Giải chi tiết

a) Ta có ngay:

Do BCNM là tứ giác nội tiếp nên: \(\widehat {AMN} = \widehat {BCA}\) (cùng bù với \(\widehat {BMN}\))

Hơn nữa: \(\widehat {BMO} = \widehat {ABC}\) (do tam giác OBM cân tại O) \( \Rightarrow \widehat {OMN} = \widehat {CAB}\)

\( \Rightarrow \widehat {NAP} = \widehat {NMP}.\)

Từ đây suy ra: AMPN là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

b) Ta có vì BMPQ là tứ giác nội tiếp nên: \(\widehat {BQP} = \widehat {AMP}\) (cùng bù với \(\widehat {BMP}\))

Vì CNPQ là tứ giác nội tiếp nên: \(\widehat {CQP} = \widehat {ANP}\) (cùng bù với \(\widehat {CNP}\))

Mà: \(\widehat {AMP} + \widehat {ANP} = {180^0}\) (tứ giác AMPN là tứ giác nội tiếp) nên \(\widehat {BQP} + \widehat {CQP} = {180^0}.\)

Mặt khác đây là 2 góc kề nên dễ có: B, Q, C thẳng hàng.

c) Ta có: \(O{O_2} \bot BM \Rightarrow O{O_2} \bot AB\) vì đường tròn (O) và (O2) cắt nhau tại BM (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \({\rm{O}}{{\rm{O}}_3} \bot AC \to \widehat {{O_2}O{O_3}} = {180^0} - \widehat {ABC}.\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \({O_1}{O_3} \bot PN;{O_1}{O_2} \bot PM \Rightarrow \widehat {{O_2}{O_1}{O_3}} = {180^0} - \widehat {MPN}.\)

Ta lại có: \(\widehat {{O_2}O{O_3}} + \widehat {{O_2}{O_1}{O_3}} = {360^0} - (\widehat {BAC} + \widehat {MPN}) = {180^0}.\)

Do vậy: \({O_1}{O_2}O{O_3}\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰). Vậy 4 điểm \({O_1},{O_2},O,{O_3}\) cùng thuộc một đường tròn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link