a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: \({x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4x + 8y + 7 = 0.\) b)

Câu hỏi số 259188:

Vận dụng

a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: \({x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4x + 8y + 7 = 0.\)

b) Cho 3 số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng:

\(ab\left( {{b^2} + bc + ac} \right) + bc\left( {{c^2} + ca + ab} \right) + ac\left( {{a^2} + ab + bc} \right) \le \left( {ab + bc + ac} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259188

Phương pháp giải

a) Coi phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.

b) Nhân và rút gọn bất phương trình ban đầu, sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm.

Giải chi tiết

a) Xem đây là phương trình bậc hai có biến x và tham số y:

\(\eqalign{ & {x^2} - 2x(y + 2) + 2{y^2} + 8y + 7 = 0 \cr & \Delta ' = {(y + 2)^2} - (2{y^2} + 8y + 7) = - {y^2} - 4y - 3 \ge 0 \Leftrightarrow (y + 3)(y + 1) \le 0 \cr & \Leftrightarrow - 3 \le y \le - 1. \cr} \)

Do x, y là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau:

TH1: \(y=-3\) nên thay vào phương trình ban đầu ta có ngay \({x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1.\)

TH2: \(y = -2\) nên thay vào phương trình ban đầu ta có: \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)

TH3: \(y =-1\) nên thay vào phương trình ban đầu ta có: \({x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: ( -3; -1); ( -2; - 1); ( -2; 1); ( -1; 1).

b) Biến đổi thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\eqalign{ & ab({b^2} + bc + ac) + bc({c^2} + ca + ab) + ac({a^2} + ab + bc) \le (ab + bc + ac)({a^2} + {b^2} + {c^2}) \cr & \Leftrightarrow a{b^3} + b{c^3} + c{a^3} + 2abc(a + b + c) \le a{b^3} + b{c^3} + c{a^3} + ab({a^2} + {c^2}) + bc({a^2} + {b^2}) + ca({b^2} + {c^2}) \cr & \Leftrightarrow 2abc(a + b + c) \le ab({a^2} + {c^2}) + bc({a^2} + {b^2}) + ca({b^2} + {c^2}). \cr} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số không âm ta có:

\(\eqalign{ & ab({a^2} + {c^2}) \ge ab.2ac = 2{a^2}bc \cr & bc({a^2} + {b^2}) \ge 2bc.ab = 2a{b^2}c \cr & ca({b^2} + {c^2}) \ge ca.2bc = 2ab{c^2} \cr & \Rightarrow VP \ge 2{a^2}bc + 2a{b^2}c + 2ab{c^2} = 2abc(a + b + c). \cr} \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link