Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC, AN cắt BM tại P và DN cắt
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC, AN cắt BM tại P và DN cắt CM tại Q. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(\frac{NA}{NP}+\frac{ND}{NQ}+\frac{MB}{MP}+\frac{MC}{MQ}\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Ta có ngay : \(\frac{NA}{NP}=\frac{{{S}_{MNA}}}{{{S}_{MNP}}}=\frac{{{S}_{BNA}}}{{{S}_{BNP}}}=\frac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{BMN}}}.\)
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : \(\frac{ND}{NQ}=\frac{{{S}_{CDMN}}}{{{S}_{CMN}}};\frac{MB}{MP}=\frac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{AMN}}};\frac{MC}{MQ}=\frac{{{S}_{CDMN}}}{{{S}_{DMN}}}.\)
Do M, N thứ tự là trung điểm của AD và BC nên: \(\begin{align} & {{S}_{CMN}}={{S}_{BMN}};{{S}_{DMN}}={{S}_{AMN}} \\ & \Rightarrow S=\frac{NA}{NP}+\frac{ND}{NQ}+\frac{MB}{MP}+\frac{MC}{MQ}=\frac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{CNM}}}+\frac{{{S}_{CDMN}}}{{{S}_{CMN}}}+\frac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{AMN}}}+\frac{{{S}_{CDMN}}}{{{S}_{AMN}}} \\ & ={{S}_{ABCD}}(\frac{1}{{{S}_{AMN}}}+\frac{1}{{{S}_{CNM}}})\ge \frac{4{{S}_{ABCD}}}{{{S}_{AMN}}+{{S}_{CNM}}}=\frac{4{{S}_{ABCD}}}{{{S}_{ANC}}+{{S}_{AMC}}}=\frac{4{{S}_{ABCD}}}{\frac{1}{2}({{S}_{ABC}}+{{S}_{ACD}})} \\ & =\frac{4{{S}_{ABCD}}}{\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}}=8. \\ & \to S\ge 8. \\ \end{align}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: \({{S}_{AMN}}={{S}_{CMN}}\Leftrightarrow AB//MN//CD.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 8, đạt tại chẳng hạn tứ giác ABCD là hình thanh có AB // CD.
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
