Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp

Câu hỏi số 259400:

Vận dụng

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tia AI cắt (O) tại J khác A. Đường thẳng JO cắt (O) tại K khác J và cắt BC tại E.

a) Chứng minh rằng : J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC và \(JE.JK=J{{I}^{2}}.\)

b) Gọi tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại S. Chứng minh rằng : SI . EK = SK . EJ.

c) Đường thẳng SA cắt (O) tại D khác A, đường thẳng DI cắt (O) tại M khác D. Chứng minh rằng JM đi qua trung điểm của đoạn IE.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:259400

Giải chi tiết

a) Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên: \(\widehat{BAJ}=\widehat{JAC}\to \overset\frown{BJ}=\overset\frown{JC}\to BJ=JC.\)

Ta lại có: \(\widehat{BIJ}=\widehat{BAJ}+\widehat{ABI}=\widehat{CAJ}+\widehat{IBC}=\widehat{JBC}+\widehat{IBC}=\widehat{JBI}.\)

Do đó tam giác JBI cân tại J, suy ra JB = JI.

Vậy JB = JI = JC hay J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Ta có BJ = JC nên OJ vuông góc với BC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông JBK tại B và BE là đường cao ta có: \(J{{I}^{2}}=B{{J}^{2}}=JE.JK.\)

b) Trước tiên ta sẽ chứng minh S, J, K thẳng hàng.

Tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại S suy ra SO vuông góc với BC. Do đó S, O, J thẳng hàng.

SO, JO cùng vuông góc với BC.

Suy ra S, J, K thẳng hàng.

Ta có ngay:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BSJ}\,chung\\
\widehat {SBJ} = \widehat {SKB}
\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SJB \sim \Delta SBK(g.g)\\
\Rightarrow \frac{{SB}}{{SJ}} = \frac{{SK}}{{SB}} \to S{B^2} = SJ.SK.\\
B{E^2} = JE.EK\\
BE \bot SE \Rightarrow S{E^2} = S{B^2} - B{E^2}\\
\Leftrightarrow {(SJ + JE)^2} = SJ.JK - JE.EK\\
\to J{E^2} + JE.EK + SJ.JE = SJ.SK - S{J^2} - SJ.JE\\
\to JE(JE + EK + SJ) = SJ(SK - SK - JE)\\
\Rightarrow JE.SK = SJ.EK.
\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

c) Gọi T là tâm đường tròn bàng tiếp góc A.

Dễ thấy J là trung điểm của IT.

Ta có :

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BAI} = \widehat {IAC}\\
\widehat {ACT} = \widehat {AIB}( = {90^0} + \widehat {ACI})
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta BAI \sim \Delta IAC(g.g)\\
\Rightarrow AI.AT = AB.AC
\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có :

\(\begin{align} & \Delta AEC\sim \Delta ABD(g.g)\to AB.AC=AE.AD \\ & \Rightarrow AI.AT=AE.AD \\ & \to \Delta AID\sim \Delta AET(c.g.c) \\ & \Rightarrow \widehat{ATE}=\widehat{ADI}=\widehat{\text{AJ}M}. \\ \end{align}\)

Suy ra : JM // ET, mà J là trung điểm của IT nên IM sẽ đi qua trung điểm của IE.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link