Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\). Viết phương trình

Câu hỏi số 260007:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt ba tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) khác gốc \(O\) sao cho thể tích khối tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất.

A. \(2x-y+2z-3=0\).

B. \(4x-y-z-6=0\).

C. \(2x+y+2z-6=0\).

D. \(x+2y+2z-6=0\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260007

Phương pháp giải

Lập phương trình đoạn chắn, áp dụng bất đẳng thức để tìm thể tích lớn nhất

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( a;0;0 \right)\), \(B\left( 0;b;0 \right)\), \(C\left( 0;0;c \right)\), do \(A\), \(B\), \(C\) thuộc ba tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) nên \(a\), \(b\), \(c>0\).

Phương trình \(\left( P \right)\) theo đoạn chắn có dạng \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).

Do \(M\left( 2;1;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\).

Áp dụng Cauchy cho \(\text{3}\) số dương \(\frac{2}{a}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{1}{c}\) ta có \(1=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{2}{abc}}\) \(\Rightarrow {{V}_{OABC}}=\frac{abc}{6}\ge 9\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{2}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\ & b=c=3 \\ \end{align} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1\Leftrightarrow x+2y+2z-6=0\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.