Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\). Viết phương trình

Câu hỏi số 260007:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( 2;1;1 \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt ba tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) khác gốc \(O\) sao cho thể tích khối tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất.

A. \(2x-y+2z-3=0\).

B. \(4x-y-z-6=0\).

C. \(2x+y+2z-6=0\).

D. \(x+2y+2z-6=0\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260007

Phương pháp giải

Lập phương trình đoạn chắn, áp dụng bất đẳng thức để tìm thể tích lớn nhất

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( a;0;0 \right)\), \(B\left( 0;b;0 \right)\), \(C\left( 0;0;c \right)\), do \(A\), \(B\), \(C\) thuộc ba tia \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) nên \(a\), \(b\), \(c>0\).

Phương trình \(\left( P \right)\) theo đoạn chắn có dạng \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\).

Do \(M\left( 2;1;1 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\).

Áp dụng Cauchy cho \(\text{3}\) số dương \(\frac{2}{a}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{1}{c}\) ta có \(1=\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{2}{abc}}\) \(\Rightarrow {{V}_{OABC}}=\frac{abc}{6}\ge 9\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{2}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=6 \\ & b=c=3 \\ \end{align} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{3}=1\Leftrightarrow x+2y+2z-6=0\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.