Cho phương trình \({{\text{e}}^{m\cos x-\sin x}}-{{\text{e}}^{2\left( 1-\sin x \right)}}=2-\sin x-m\cos x\) với

Câu hỏi số 260006:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({{\text{e}}^{m\cos x-\sin x}}-{{\text{e}}^{2\left( 1-\sin x \right)}}=2-\sin x-m\cos x\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm. Khi đó \(S\) có dạng \(\left( -\infty ;a \right]\cup \left[ b;+\infty \right)\). Tính \(T=10a+20b\).

A. \(T=10\sqrt{3}\).

B. \(T=0\).

C. \(T=1\).

D. \(T=3\sqrt{10}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260006

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đại diện) đưa về phương trình lượng giác cơ bản, áp dụng điều kiện để phương trình \(a\sin x+b\cos x=c\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}\)

Giải chi tiết

Ta có \({{\text{e}}^{m\cos x-\sin x}}-{{\text{e}}^{2\left( 1-\sin x \right)}}=2-\sin x-m\cos x\)\(\Leftrightarrow {{\text{e}}^{m\cos x-\sin x}}+m\cos x-\sin x={{\text{e}}^{2\left( 1-\sin x \right)}}+2\left( 1-\sin x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+t\) \(\left( t\in \mathbb{R} \right)\), \({f}'\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+1>0\)\(\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \({{\text{e}}^{m\cos x-\sin x}}+m\cos x-\sin x={{\text{e}}^{2\left( 1-\sin x \right)}}+2\left( 1-\sin x \right)\Leftrightarrow m\cos x-\sin x=2\left( 1-\sin x \right)\) \(\Leftrightarrow m\cos x+\sin x=2\).

Phương trình có nghiệm khi \({{m}^{2}}+1\ge 4\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ge 3\).

\(\Rightarrow S=\left( -\infty ;-\sqrt{3} \right]\cup \left[ \sqrt{3};+\infty \right)\).

Vậy \(T=10a+20b\)\(=10\sqrt{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.