Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) \ge {x^4} +

Câu hỏi số 260345:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) \ge {x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - 2x\) \(\forall x>0\) và \(f\left( 1 \right)=-1\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có \(1\) nghiệm trên \(\left( {0;1} \right)\).

Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có đúng \(3\) nghiệm trên \(\left( 0;+\infty \right)\).

Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có \(1\) nghiệm trên \(\left( 1;2 \right)\).

D. Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có \(1\) nghiệm trên \(\left( {2;5} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260345

Phương pháp giải

Xét dấu của đạo hàm và áp dụng tích phân để xác định các giá trị

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) \ge {x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - 2x\)\(=\frac{{{x}^{6}}-2{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}}\) \(=\frac{{{\left( {{x}^{3}}-1 \right)}^{2}}+1}{{{x}^{2}}}>0;\,\,\forall x>0\) \(\Rightarrow y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). \(\Rightarrow f\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất \(1\) nghiệm trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) \(\left( 1 \right)\).

Lại có \(f'\left( x \right) \ge {x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - 2x > 0\;\forall x > 0 \Rightarrow \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)\,} {\rm{d}}x \ge \int\limits_1^2 {\left( {{x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - 2x} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{21}}{5}\)

\( \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) \ge \frac{{21}}{5} \Rightarrow f\left( 2 \right) \ge \frac{{17}}{5}.\)

Kết hợp giả thiết ta có \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(\left[ 1;2 \right]\) và \(f\left( 2 \right).f\left( 1 \right)<0\ \ \ \left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có \(1\) nghiệm trên \(\left( {1;2} \right).\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.