Cho đa giác đều \(2018\) đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có

Câu hỏi số 260349:

Vận dụng cao

Cho đa giác đều \(2018\) đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn \({100^0}\)?

A. \(2018.C_{897}^3\).

B. \(C_{1009}^3\).

C. \(2018.C_{895}^3\).

D. \(2018.C_{896}^2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260349

Phương pháp giải

Dựng hình, xác định yếu tố liên quan đến điều kiện góc lớn hơn 100 độ và áp dụng các quy tắc đếm

Giải chi tiết

Gọi \({A_1}\),\({A_2}\),…,\({A_{2018}}\) là các đỉnh của đa giác đều \(2018\) đỉnh.

Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều \({A_1}{A_2}...{A_{2018}}.\)

Các đỉnh của đa giác đều chia \(\left( O \right)\) thành \(2018\) cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng \(\frac{{{{360}^0}}}{{2018}}.\)

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của \(\left( O \right)\).

Suy ra góc lớn hơn \({100^0}\) sẽ chắn cung có số đo lớn hơn \({200^0}.\)

Cố định một đỉnh \({A_i}\). Khi đó có \(2018\) cách chọn \({A_i}\).

Gọi \({A_i},\;{A_j},\;{A_k}\) là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho thì \(\widehat {{A_i}{A_j}{A_k}} > 100^\circ \) và tam giác \({A_i}{A_j}{A_k}\) là tam giác cần đếm.

Khi đó là hợp liên tiếp của nhiều nhất \(\left[ {\frac{{160}}{{\frac{{360}}{{2018}}}}} \right] = 896\) cung tròn nói trên.

Và \(896\) cung tròn này có \(897\) đỉnh. Trừ đi đỉnh .. thì còn đỉnh.

Do đó có \(C_{896}^2\) cách chọn hai đỉnh ,.

Vậy có tất cả \(2018.C_{896}^2\) tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.