Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 1;0;1 \right)\), \(B\left( 0;1;-1
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 1;0;1 \right)\), \(B\left( 0;1;-1 \right)\). Hai điểm \(D\), \(E\) thay đổi trên các đoạn \(OA\), \(OB\) sao cho đường thẳng \(DE\) chia tam giác \(OAB\) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi \(DE\) ngắn nhất thì trung điểm của đoạn \(DE\) có tọa độ là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Xác định diện tích thông qua tỉ số, áp dụng định lí Cosin tìm độ dài và biện luận min
Ta có \(\overrightarrow{OA}=\left( 1;0;1 \right),\ \overrightarrow{OB}=\left( 0;1;-1 \right),\ OA=OB=\sqrt{2},\)
\(\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;-2 \right),\ AB=\sqrt{6}.\)
Suy ra \(\frac{{{S}_{ODE}}}{{{S}_{OAB}}}=\frac{OD.OE}{OA.OB}\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{OD.OE}{2}\Leftrightarrow OD.OE=1.\)
Lại có \(\cos \widehat{AOB}=\frac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}=\frac{2+2-6}{4}=\frac{-1}{2}.\)
Mặt khác \(D{{E}^{2}}=O{{D}^{2}}+O{{E}^{2}}-2OD.OE\cos \widehat{AOB}=O{{D}^{2}}+O{{E}^{2}}+OD.OE\ge 3OD.OE.\)
\(\Rightarrow DE\ge \sqrt{3}\). Dấu bằng xảy ra khi \(OD=OE=1\)
Khi đó \(\overrightarrow{OD}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\overrightarrow{OA}\Rightarrow D\left( \frac{\sqrt{2}}{2};0;\frac{\sqrt{2}}{2} \right),\ \overrightarrow{OE}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\overrightarrow{OB}\Rightarrow E\left( 0;\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2} \right).\)
Vậy trung điểm \(I\) của \(DE\) có tọa độ \(I\left( \frac{\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{2}}{4};0 \right)\).
Chọn A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
