Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \({{\log

Câu hỏi số 260372:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \({{\log }_{2}}\frac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1}={{x}^{2}}-5x+2-m\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn \(1\).

\(3\).

B. Vô số.

C. \(2\).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260372

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm đại diện đưa về phương trình bậc hai ẩn x và biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

Giải chi tiết

Điều kiện: \(3{{x}^{2}}+3x+m+1>0\). Phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{align}& \ \ \ \ \ {{\log }_{2}}\left( \frac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{2{{x}^{2}}-x+1} \right)-1={{x}^{2}}-5x+1-m \\& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{3{{x}^{2}}+3x+m+1}{4{{x}^{2}}-2x+2}=4{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}-2x-3x+2-1-m \\& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)=\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)-\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right) \\& \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)+\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)={{\log }_{2}}\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)+\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)\ \ \ \ \ \left( 1 \right) \\\end{align}\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right)=t+{{\log }_{2}}t\) trên \(D=\left( 0;+\infty \right)\), có \({f}'\left( t \right)=1+\frac{1}{t.\ln 2}>0,\ \ \forall t\in D.\)

Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(D\)\(\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( 4{{x}^{2}}-2x+2 \right)=f\left( 3{{x}^{2}}+3x+m+1 \right)\)

\(\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-2x+2=3{{x}^{2}}+3x+m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=m-1\ \ \ \left( 2 \right)\)

Xét hàm số: \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-5x\) trên \(\mathbb{R}\), có \({g}'\left( x \right)=2x-5\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn \(1\) khi và chỉ khi \(-\frac{25}{4}<m-1<-\,4\Leftrightarrow -\frac{21}{4}<m<-\,3\), do \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \left\{ -\,5;-\,4 \right\}.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.