Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc bằng

Câu hỏi số 260624:

Vận dụng

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một góc bằng 60⁰. Kí hiệu \({V_1},\,\,{V_2}\) lần lượt là thể tích khối cầu ngoại tiếp, thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).

A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{9}\)

B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{32}}{{27}}\)

C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\)

D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{8}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:260624

Phương pháp giải

\({V_{cau}} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) với R là bán kính khối cầu.

\({V_{non}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\) với r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao khối nón.

Giải chi tiết

Gọi \(\begin{array}{l}O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\\ \Rightarrow \widehat {SA;\left( {ABCD} \right)} = \widehat {\left( {SA;AO} \right)} = \widehat {SAO} = {60^0}\end{array}\)

Gọi M là trung điểm của SA, qua M kẻ đường thẳng vuông góc với SA cắt SO tại I ta có I là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD.

Xét tam giác vuông \(SAO\) có

\(SA = \frac{{OA}}{{\cos 60}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = a\sqrt 2 \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác vuông SMI có

\(SI = \frac{{SM}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = {R_{cau}} \Rightarrow {V_1} = \frac{4}{3}\pi R_{cau}^3 = \frac{{8\sqrt 6 }}{{27}}\pi {a^3}\)

Hình nón ngoại tiếp chóp có chiều cao \(h = SO = AO.\tan 60 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và bán kính đáy \(r = AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_2} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\pi {a^3}\\ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{8\sqrt 6 }}{{27}}\pi {a^3}}}{{\frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\pi {a^3}}} = \frac{{32}}{9}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.