Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{{x^2} + x\sqrt 3 + 3}} + \frac{3}{{{x^3} - \sqrt {27} }}}

Câu hỏi số 261678:

Nhận biết

Cho biểu thức:

\(A = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{{x^2} + x\sqrt 3 + 3}} + \frac{3}{{{x^3} - \sqrt {27} }}} \right)\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 3 }}{x} + 1} \right)\) (với \(x \ne 0;x \ne \sqrt 3 \)).

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } } } .\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261678

Phương pháp giải

1. Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\).

Quy đồng và rút gọn.

2. Rút gọn x, sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{X^2}} = \left| X \right|\) sau đó thay giá trị của x vào biểu thức A vừa rút gọn và tính giá trị của A.

Giải chi tiết

1. Với điều kiện xác định là \(x \ne 0;\,\,x \ne \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{{x^2} + x\sqrt 3 + 3}} + \frac{3}{{{x^3} - \sqrt {27} }}} \right)\left( {\frac{x}{{\sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 3 }}{x} + 1} \right)\\A = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{{x^2} + x\sqrt 3 + 3}} + \frac{3}{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} + x\sqrt 3 + 3} \right)}}} \right)\left( {\frac{{{x^2} + x\sqrt 3 + 3}}{{\sqrt 3 x}}} \right)\\A = \frac{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\sqrt 3 + 3}}{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} + x\sqrt 3 + 3} \right)}}.\frac{{{x^2} + x\sqrt 3 + 3}}{{\sqrt 3 x}}\\A = \frac{{\sqrt 3 x}}{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} + x\sqrt 3 + 3} \right)}}.\frac{{{x^2} + x\sqrt 3 + 3}}{{\sqrt 3 x}}\\A = \frac{1}{{x - \sqrt 3 }}\end{array}\)

2. Ta có :

\(\begin{array}{l}x = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } } } \\\,\,\,\, = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \left[ {{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5 .3 + {3^2}} \right]} } \\\,\,\,\, = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 - 3} \right)}^2}} } } = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \left| {2\sqrt 5 - 3} \right|} } \\\,\,\,\, = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {3 - \left( {2\sqrt 5 - 3} \right)} } = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } } \\\,\,\,\, = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2\sqrt 5 .1 + {1^2}} } = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} } \\\,\,\,\, = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \left| {\sqrt 5 - 1} \right|} = \sqrt 3 + \sqrt {\sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 - 1} \right)} = \sqrt 3 + 1\end{array}\)

Thay \(x = \sqrt 3 + 1\) vào A ta có: \(A = \frac{1}{{\sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 }} = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link