Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện \(ab + bc + ca = 3\) và \(a \ge c\). Tìm

Câu hỏi số 261554:

Vận dụng cao

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện \(ab + bc + ca = 3\) và \(a \ge c\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} + \frac{3}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}}}\)

A. \( \frac{7}{2}\)

B. \( \frac{5}{2}\)

C. \( \frac{3}{2}\)

D. \( \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261554

Phương pháp giải

Áp dụng bổ đề : \({m^2} + {n^2} + {p^2} \ge mn + np + pm\,\,\,\left( 1 \right);\,\,{\left( {m + n + p} \right)^2} \ge 3\left( {mn + np + pm} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\) (Với m, n, p là các số không âm)

Giải chi tiết

Chứng minh bổ để 1 :

\(\begin{array}{l}{m^2} + {n^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2mn;\,\,{n^2} + {p^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2np;\,\,{p^2} + {m^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2pm\\ \Rightarrow 2\left( {{m^2} + {n^2} + {p^2}} \right) \ge 2\left( {mn + np + pm} \right) \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + {p^2} \ge mn + np + pm\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m = n = p\).

Chứng minh bổ đề 2:

\({\left( {m + n + p} \right)^2} = {m^2} + {n^2} + {p^2} + 2\left( {mn + np + pm} \right) \ge mn + np + pm + 2\left( {mn + np + pm} \right) = 3\left( {mn + np + pm} \right)\)

Đặt \(X = \frac{1}{{a + 1}};\,\,Y = \frac{1}{{b + 1}};\,\,Z = \frac{1}{{c + 1}}\;\;\left( {X,Y,Z > 0} \right)\)

Vì \(a \ge c \Rightarrow Z \ge X \Rightarrow {Z^2} \ge {X^2} \Rightarrow 3{Z^2} = 2{Z^2} + {Z^2} \ge 2{Z^2} + {X^2}\)

\( \Rightarrow P = {X^2} + 2{Y^2} + 3{Z^2} \ge 2\left( {{X^2} + {Y^2} + {Z^2}} \right) \ge 2\left( {XY + YZ + ZX} \right)\) (Áp dụng bổ đề 1).

Áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có \(3 = ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}} \le 1 \Leftrightarrow abc \le 1\)

Áp dụng bổ đề 2 ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) = 3.3 = 9 \Leftrightarrow a + b + c \ge 3\)

\( \Leftrightarrow a + b + c \ge 3abc\)

Do đó

\(\begin{array}{l}XY + YZ + ZX = \frac{1}{{a + 1}}.\frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{b + 1}}.\frac{1}{{c + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}.\frac{1}{{a + 1}}\\ = \frac{{c + 1 + a + 1 + b + 1}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}} = \frac{{a + b + c + 3}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right)}}\\\left( {a + 1} \right)\left( {b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) = \left( {ab + a + b + 1} \right)\left( {c + 1} \right) = abc + ac + bc + c + ab + a + b + 1\\ = abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1 \le \frac{{a + b + c}}{3} + 3 + a + b + c + 1 \le \frac{4}{3}\left( {a + b + c + 3} \right)\\ \Rightarrow XY + YZ + ZX \ge \frac{{a + b + c + 3}}{{\frac{4}{3}\left( {a + b + c + 3} \right)}} = \frac{3}{4}\\ \Rightarrow P \ge 2.\frac{3}{4} = \frac{3}{2}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow X = Y = Z = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 1\).

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link