Cho \(a;\;b\) thoả mãn \(\left| a \right| \ge 2;\;\left| b \right| \ge 2\). Chứng minh rằng: \(\left( {{a^2} +

Câu hỏi số 261684:

Vận dụng cao

Cho \(a;\;b\) thoả mãn \(\left| a \right| \ge 2;\;\left| b \right| \ge 2\). Chứng minh rằng:

\(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) + 5\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261684

Phương pháp giải

Xét hiệu \(M = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) - \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) - 5\).

Phân tích và chứng minh \(M \ge 0.\)

Giải chi tiết

Xét hiệu

\(\begin{array}{l}M = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) - \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) - 5\\M = {a^2}{b^2} + {a^2} + {b^2} + 1 - {a^2}b - a - a{b^2} - b - 5\\M = \left( {{a^2}{b^2} - {a^2}b - a{b^2} + ab} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - a - b - ab} \right) - 4\\M = \left[ {{a^2}b\left( {b - 1} \right) - ab\left( {b - 1} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} + {b^2} - 2ab} \right) + \left( {{a^2} - 2a} \right) + \left( {{b^2} - 2b} \right)} \right] - 4\\M = ab\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + a\left( {a - 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)} \right] - 4\end{array}\)

Chỉ ra với \(\left| a \right| \ge 2\) thì \(a\left( {a - 1} \right) \ge 2\) và \(a\left( {a - 2} \right) \ge 0\)

\(\left| b \right| \ge 2\) thì \(b\left( {b - 1} \right) \ge 2\) và \(b\left( {b - 2} \right) \ge 0\)

nên \(ab\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 4;\,\,\frac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + a\left( {a - 2} \right) + b\left( {b - 2} \right)} \right] \ge 0\).

\( \Rightarrow M \ge 0\)hay \(\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge \left( {a + b} \right)\left( {ab + 1} \right) + 5\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link