Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, M là một điểm tùy ý thuộc đường tròn (M khác A và B).

Câu hỏi số 261683:

Vận dụng

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, M là một điểm tùy ý thuộc đường tròn (M khác A và B). Qua A và B lần lượt kẻ các đường thẳng d và d’ là tiếp tuyến với đường tròn. Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt d và d’ lần lượt tại C và D. Đường thẳng BM cắt d tại E.

1. Chứng minh CM = CA = CE.

2. Chứng minh \(AD \bot OE\).

3. Tính độ dài đoạn AM theo R, nếu AE = BD.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:261683

Phương pháp giải

1. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tam giác đồng dạng.

2. Gọi I là giao điểm của OE và d’, chứng minh O là trực tâm của tam giác ADI.

3. Tính CM dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông, từ đó tính AE và tính AM.

Giải chi tiết

1. Gọi F là giao điểm của OC và AM, ta có OC\( \bot \)AM.

Ta có, CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Hai tam giác vuông AME và AFC đồng dạng \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AF}} = 2 \Rightarrow AE = 2AC \Rightarrow AC = CE\) .

Vậy CM = CA = CE.

2. Gọi giao điểm của EO với d’ là I.

Ta chứng minh được \(\Delta OAE = \Delta OBI\,\,\left( {cgv - gn} \right) \Rightarrow AE = BI\), lại có AE // BI

\( \Rightarrow AEBI\) là hình bình hành \( \Rightarrow \)BE // AI.

Ta có: OD\( \bot \)BE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \) OD\( \bot \)AI, mà AB\( \bot \)DI

\( \Rightarrow \) O là trực tâm của \(\Delta \)ADI

\( \Rightarrow \) OI\( \bot \) AD \( \Rightarrow \) OE\( \bot \) AD (đpcm).

3. Ta có: OC, OD là hai phân giác của hai góc kề bù (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow OC \bot OD\).

Tam giác COD vuông tại O , có OM là đường cao \( \Rightarrow O{M^2} = CM.DM = {R^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác).

Theo phần 1, ta có EC = CA = CM \( \Rightarrow \)2CM = AE = BD.

Mà BD = MD \( \Rightarrow \) 2CM = MD.

\( \Rightarrow 2C{M^2} = {R^2} \Rightarrow CM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow AE = R\sqrt 2 \).

Xét giác vuông AEB có: \(\frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow AM = \frac{{AE.AB}}{{\sqrt {A{E^2} + A{B^2}} }} = \frac{{R\sqrt 2 .2R}}{{\sqrt {2{R^2} + 4{R^2}} }} = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link