Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số dương thỏa mãn: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{z^2} +

Câu hỏi số 262070:

Vận dụng cao

Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số dương thỏa mãn: \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{z^2} + {x^2}} = 6.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{z + x}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}.\)

A. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{5}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262070

Giải chi tiết

Trước hết ta có BĐT quen thuộc sau với \(a,\;b,\;c > 0\) thì : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}.\)

Thật vậy : \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}} \Leftrightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9.\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}}\end{array} \right. \Rightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}} = 9.\)

Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)

Áp dụng BĐT Cô-si quen thuộc : \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6 = \sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {z^2}} \\ \le \sqrt {3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + {x^2} + {x^2} + {y^2}} \right)} = \sqrt {6{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 6.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}M = \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} \ge \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} }}\\ \ge \frac{{6 - \left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{y^2} + {z^2}} }} + \frac{{6 - \left( {{x^2} + {z^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{x^2} + {z^2}} }} + \frac{{6 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\\ = \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} }} + \frac{6}{{\sqrt {2\left( {{y^2} + {x^2}} \right)} }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\\ \ge \frac{{6.9}}{{\sqrt 2 \left( {\sqrt {\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{x^2} + {z^2}} \right)} + \sqrt {\left( {{y^2} + {x^2}} \right)} } \right)}} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt {{y^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {z^2}} + \sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)\\ = \frac{{6.9}}{{6\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}.6 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{y^2} + {z^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {z^2}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} = 4\\{x^2} + {y^2} = 4\\{z^2} + {x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} = {z^2} = 2 \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 2 .\)

Vậy \(Min\;M = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\) khi \(x = y = z = \sqrt 2 .\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link