Cho hypebol \((H):4{x^2} - {y^2} = 4\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: M nhìn hai tiêu điểm dưới một

Câu hỏi số 262646:

Thông hiểu

Cho hypebol \((H):4{x^2} - {y^2} = 4\). Tìm điểm \(M \in (H)\) sao cho: M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc \({120^0}\).

A. \({M_1}\left( {\sqrt {\dfrac{{48}}{5}} ;\sqrt {\frac{{17}}{5}} } \right);{M_2}\left( { - \sqrt {\dfrac{{48}}{5}} ;\sqrt {\frac{{17}}{5}} } \right);\) \({M_3}\left( {\sqrt {\dfrac{{48}}{5}} ; - \sqrt {\frac{{17}}{5}} } \right);{M_4}\left( { - \sqrt {\dfrac{{48}}{5}} ; - \sqrt {\frac{{17}}{5}} } \right)\).

B. \({M_1}\left( {\sqrt {\dfrac{{19}}{{15}}} ;\dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right);{M_2}\left( { - \sqrt {\dfrac{{19}}{{15}}} ;\dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right)\)\(;{M_3}\left( {\sqrt {\dfrac{{19}}{{15}}} ; - \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right);{M_4}\left( { - \sqrt {\dfrac{{19}}{{15}}} ; - \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right)\).

C. \({M_1}\left( {\sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right);{M_2}\left( { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right);\) \({M_3}\left( {\sqrt 3 ; - 2\sqrt 2 } \right);{M_4}\left( { - \sqrt 3 ; - 2\sqrt 2 } \right)\).

D. \({M_1}\left( {2\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right);{M_2}\left( { - 2\sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right);\) \({M_3}\left( {2\sqrt 2 ; - \sqrt 3 } \right);{M_4}\left( { - 2\sqrt 2 ; - \sqrt 3 } \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:262646

Phương pháp giải

\((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}{x_0}} \right|\\M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}{x_0}} \right|\end{array} \right.\)

Sử dụng công thức Côsin cho tam giác \(M{F_1}{F_2}\): \({F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - 2.M{F_1}.M{F_2}.\cos \widehat {{F_1}M{F_2}}\)

Giải chi tiết

\((H):4{x^2} - {y^2} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = \sqrt 5 \end{array} \right.\)

\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{F_1} = \left| {a + \dfrac{c}{a}{x_0}} \right| = \left| {1 + \sqrt 5 {x_0}} \right|\\M{F_2} = \left| {a - \dfrac{c}{a}{x_0}} \right| = \left| {1 - \sqrt 5 {x_0}} \right|\end{array} \right.\)

Áp dụng công thức Côsin cho tam giác \(M{F_1}{F_2}\): \({F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - 2.M{F_1}.M{F_2}.\cos \widehat {{F_1}M{F_2}}\)

\( \Leftrightarrow {F_1}{F_2}^2 = {\left( {M{F_1} - M{F_2}} \right)^2} + 2M{F_1}.M{F_2} - 2.M{F_1}.M{F_2}.\cos {120^0}\) \( \Leftrightarrow {\left( {2c} \right)^2} = {\left( {2a} \right)^2} + 3M{F_1}.M{F_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2.\sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {2.1} \right)^2} + 3\left| {1 + \sqrt 5 {x_0}} \right|.\left| {1 - \sqrt 5 {x_0}} \right|\\ \Leftrightarrow 3\left| {1 - 5{x_0}^2} \right| = 16\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 5{x_0}^2 = \dfrac{{16}}{3}\\1 - 5{x_0}^2 = - \dfrac{{16}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0}^2 = - \dfrac{{ - 13}}{3}\\{x_0}^2 = \dfrac{{19}}{{15}}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0}^2 = \dfrac{{19}}{{15}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}(H):4{x^2} - {y^2} = 4 \Rightarrow 4{x_0}^2 - {y_0}^2 = 4\\ \Leftrightarrow 4.\dfrac{{19}}{{15}} - {y_0}^2 = 4 \Leftrightarrow {y_0}^2 = \dfrac{{16}}{{15}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 = \dfrac{{19}}{{15}}\\{y_0}^2 = \dfrac{{16}}{{15}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \pm \sqrt {\dfrac{{19}}{{15}}} \\{y_0} = \pm \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}\end{array} \right.\)

Vậy, \({M_1}\left( {\sqrt {\dfrac{{19}}{{15}}} ;\dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right);{M_2}\left( { - \sqrt {\dfrac{{19}}{{15}}} ;\dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right);{M_3}\left( {\sqrt {\dfrac{{19}}{{15}}} ; - \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right);{M_4}\left( { - \sqrt {\dfrac{{19}}{{15}}} ; - \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.