1) Giải phương trình \({x^2} - x + 2\sqrt {{x^3} + 1} = 2\sqrt {x + 1} \) 2) Giải hệ

Câu hỏi số 266438:

Vận dụng

1) Giải phương trình

\({x^2} - x + 2\sqrt {{x^3} + 1} = 2\sqrt {x + 1} \)

2) Giải hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}xy + {y^2} = 1 + y\\{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 4 + x\end{array} \right.\)

A. a) \(\left\{ {1;\;1} \right\}\)

b) \(\left( {1;1} \right);\left( {1 - \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {1 + \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

B. a) \(\left\{ {1;\;1} \right\}\)

b) \(\left( {1;1} \right);\left( {1 - \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {1 + \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

C. a) \(\left\{ {0;\;1} \right\}\)

b) \(\left( {1;2} \right);\left( {1 - \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {1 + \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

D. a) \(\left\{ {0;\;1} \right\}\)

b) \(\left( {2;3} \right);\left( {1 - \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {1 + \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266438

Giải chi tiết

Câu I

Giải phương trình \({x^2} - x + 2\sqrt {{x^3} + 1} = 2\sqrt {x + 1} \)

Cách 1: Điều kiện: x ≥ –1

\(\begin{array}{l}{x^2} - x + 2\sqrt {{x^3} + 1} = 2\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)} = 2\sqrt {x + 1} \end{array}\)

Đặt:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\b = \sqrt {x + 1} \\a.b > 0\end{array} \right.\\PT \Leftrightarrow {a^2} - 1 + 2ab = 2b\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) + 2b\left( {a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1 + 2b} \right) = 0\end{array}\)

Do \(a + 1 + 2b > 1 \Rightarrow a = 1\)

Khi đó ta có: \({x^2} - x + 1 = 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\left( {tm} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;1}

Cách 2:

Điều kiện: x ≥ –1

Phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}{x^2} - x + 2\left( {\sqrt {{x^3} + 1} - \sqrt {x + 1} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 2.\frac{{{x^3} - x}}{{\sqrt {{x^3} + 1} + \sqrt {x + 1} }} = 0\,\,\left( {x > - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left[ {1 + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 1} + \sqrt {x + 1} }}} \right] = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array}\)

Vì \(x > - 1 \Rightarrow 1 + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^3} + 1} + \sqrt {x + 1} }} > 0\) nên

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {0;1}

Giải hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}xy + {y^2} = 1 + y\\{x^2} + 2{y^2} + 2xy = 4 + x\end{array} \right.\)

Cách giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy + {y^2} = 1 + y\\{x^2} + 2{y^2} + 2xy + 2\left( {xy + {y^2}} \right) = 4 + x + 2\left( {1 + y} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + {y^2} = 1 + y{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} + 4xy + 4{y^2} = x + 2y + 6{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} - \left( {x + 2y} \right) - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2y - 3} \right)\left( {x + 2y + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 - 2y\\x = - 2 - 2y\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó hệ đã cho tương đương với

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2y\\\left( {3 - 2y} \right)y + {y^2} = 1 + y\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 2y\\\left( { - 2 - 2y} \right)y + {y^2} = 1 + y\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2y\\{y^2} - 2y + 1 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - 2y\\{y^2} + 3y + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\\x = 1 + \sqrt 5 \end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left( {1;1} \right);\left( {1 - \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right);\left( {1 + \sqrt 5 ;\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link