1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: \(\left( {x + y} \right){\left( {3x + 2y}

Câu hỏi số 266439:

Vận dụng

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:

\(\left( {x + y} \right){\left( {3x + 2y} \right)^2} = 2x + y - 1\)

2) Với a, b là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {a + 2b} = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}} ,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M = \frac{a}{{\sqrt {a + 2b} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + 2a} }}\)

A. a) (1;–1), (2;–3), (1;2)

b) GTNN của biểu thức M là 3

B. a) (1;1), (2;–3), (1;–2)

b) GTNN của biểu thức M là 4

C. a) (1;–1), (2;–3), (1;–2)

b) GTNN của biểu thức M là 2

D. a) (1;–1), (2;3), (1;–2)

b) GTNN của biểu thức M là 2

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266439

Giải chi tiết

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: \(\left( {x + y} \right){\left( {3x + 2y} \right)^2} = 2x + y - 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}z = x + y\\t = 3x + 2y\end{array} \right.\,\left( {z,t \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow 2x + y = t - z\), phương trình đã cho trở thành

\(z{t^2} = t - z - 1 \Leftrightarrow z{t^2} - t + z + 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn t, nó có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\Delta = 1 - 4z\left( {z + 1} \right) = - 4{z^2} - 4z + 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2 - {\left( {2z + 1} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2z + 1} \right)^2} \le 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2z + 1 = 0\\2z + 1 = \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = - \frac{1}{2}{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\\z = 0\;\left( {tm} \right)\\z = - 1\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

(do z ∈ ℤ)

Với z = 0, (2) trở thành \( - t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\3x + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\)

Với z = –1, (2) trở thành \( - {t^2} - t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\3x + 2y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\3x + 2y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên (x;y) là (1;–1), (2;–3), (1;–2)

Với a, b là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt {a + 2b} = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}} ,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(M = \frac{a}{{\sqrt {a + 2b} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + 2a} }}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {a + 2b} \\y = \sqrt {3b} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = a + 2b\\{y^2} = 3b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{3{x^2} - 2{y^2}}}{3}\\b = \frac{{{y^2}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow b + 2a = 2{x^2} - {y^2}\) \((x, y > 0)\)

Ta có \(\sqrt {a + 2b} = 2 + \sqrt {\frac{b}{3}} \Leftrightarrow 3\sqrt {a + 2b} = 6 + \sqrt {3b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 6 + y\\x > 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 6 = y\\x > 2\end{array} \right.\)

\(M = \frac{{3{x^2} - 2{y^3}}}{{3x}} + \frac{{{y^2}}}{{3\sqrt {2{x^2} - {y^2}} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương: \(y\sqrt {2{x^2} - {y^2}} \le \frac{{{y^2} + \left( {2{x^2} - {y^2}} \right)}}{2} = {x^2}\)

\( \Rightarrow M = \frac{{3{x^2} - 2{y^2}}}{{3x}} + \frac{{{y^3}}}{{3y\sqrt {2{x^2} - {y^2}} }} \ge \frac{{3{x^2} - 2{y^2}}}{{3x}} + \frac{{{y^3}}}{{3{x^2}}} = \frac{{3{x^3} - 2x{y^2} + {y^3}}}{{3{x^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{3{x^3} - 2x{{\left( {3x - 6} \right)}^2} + {{\left( {3x - 6} \right)}^3}}}{{3{x^2}}}\\ = \frac{{3{x^3} - 2x\left( {9{x^2} - 36x + 36} \right) + 27{x^3} - 3.{{\left( {3x} \right)}^2}.6 + 3.3x{{.6}^2} - {6^3}}}{{3{x^2}}}\\ = \frac{{12{x^3} - 90{x^2} + 252x - 216}}{{3{x^2}}}\\ = \frac{{4{x^3} - 30{x^2} + 84x - 72}}{{{x^2}}}\\ = \frac{{4{{\left( {x - 3} \right)}^2}\left( {x - 2} \right)}}{{{x^2}}} + 2 \ge 2\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {a + 2b} = 3\\\sqrt {3b} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 3\) (thỏa mãn)

Vậy GTNN của biểu thức M là 2, đạt được khi a = b = 3

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link