Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại

Câu hỏi số 266440:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DE, M là trung điểm của đoạn thẳng DF.

1) Chứng minh rằng hai tam giác BKM và DEF đồng dạng.

2) Gọi L là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng DF, N là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MK và NL song song.

3) Gọi J, X lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng KL, ID. Chứng minh rằng đường thẳng JX vuông góc với đường thẳng EF.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266440

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng hai tam giác BKM và DEF đồng dạng.

Vì BD, BF là các tiếp tuyến của đường tròn (I) (D, F là tiếp điểm) nên BF = BD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

⇒ ∆ BDF cân tại B

Mà M là trung điểm DF (gt) ⇒ BM ⊥ DF

Tứ giác BMDK có góc BMD + góc BKD = 180^o nên nó là tứ giác nội tiếp

⇒ góc MBK = góc FDE (góc trong và góc ngoài đối diện) (1)

và góc BKM = góc BDM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

Mặt khác xét (I) có góc BDM = góc FED (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung FD)

⇒ góc BKM = góc FED (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \Delta BKM\backsim \Delta DEF\ \left( g.g \right)\)

2) Gọi L là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng DF, N là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MK và NL song song.

Chứng minh tương tự ý 1) ta cũng có CNDL là tứ giác nội tiếp

⇒ góc BMK = góc BDK = góc NDC = góc NLC

Mặt khác ta có góc BMK + góc KMD = 90^o ; góc NLC + góc NLD = 90^o

⇒ góc KMD = góc NLD

⇒ MK // NL (hai góc so le trong bằng nhau)

3) Gọi J, X lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng KL, ID. Chứng minh rằng đường thẳng JX vuông góc với đường thẳng EF.

Dễ thấy IM ⊥ MD và IN ⊥ ND

⇒ M, N cùng thuộc đường tròn tâm X, đường kính ID

Gọi P là trung điểm MN thì XP ⊥ MN (3)

Vì MN là đường trung bình của ∆ DEF ⇒ MN // EF (4)

⇒ góc MNK = góc FED = góc BKM

Mà góc BKM + góc MKN = 90^o ⇒ góc MNK + góc MKN = 90^o

⇒ ∆ MNK vuông tại M

⇒ MK ⊥ MN (5)

Từ (3) và (5) ⇒ XP // MK

Ta có PJ là đường trung bình của hình thang MKLN ⇒ PJ // MK

Theo tiên đề Ơclit về đường thẳng song song ta có P, X, J thẳng hàng

⇒ XJ // MK (6)

Từ (4), (5) và (6) ⇒ XJ ⊥ EF

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link