Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(c\ge a\). Chứng minh rằng: \({{\left( \frac{a}{a+b}

Câu hỏi số 266563:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(c\ge a\). Chứng minh rằng:

\({{\left( \frac{a}{a+b} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{b+c} \right)}^{2}}+4{{\left( \frac{c}{c+a} \right)}^{2}}\ge \frac{3}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266563

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\begin{align} & {{\left( \frac{a}{a+b} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}\ge 2.\frac{1}{2}.\frac{a}{a+b}=\frac{a}{a+b} \\ & {{\left( \frac{b}{b+c} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}\ge 2.\frac{1}{2}.\frac{b}{b+c}=\frac{b}{b+c} \\ & {{\left( \frac{c}{c+a} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}\ge 2.\frac{1}{2}.\frac{c}{c+a}=\frac{c}{c+a} \\ & \Rightarrow {{\left( \frac{a}{a+b} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{b+c} \right)}^{2}}+4{{\left( \frac{c}{c+a} \right)}^{2}}+\frac{3}{2}\ge \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{4c}{c+a} \\ & \Leftrightarrow {{\left( \frac{a}{a+b} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{b+c} \right)}^{2}}+4{{\left( \frac{c}{c+a} \right)}^{2}}\ge \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}-\frac{3}{2} \\ \end{align}\)

Ta chứng minh bổ đề \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\ge \frac{2}{\sqrt{xy}+1}\,\,\forall xy\ge 1\)

\(\begin{align} & \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\ge \frac{2}{\sqrt{xy}+1} \\ & \Leftrightarrow \frac{x+y+2}{xy+x+y+1}\ge \frac{2}{\sqrt{xy}+1} \\ & \Leftrightarrow \frac{x+y+2}{xy+x+y+1}-\frac{2}{\sqrt{xy}+1}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( x+y+2 \right)\left( \sqrt{xy}+1 \right)-2\left( xy+x+y+1 \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( x+y+2 \right)\sqrt{xy}+x+y+2-2xy-2x-2y-2\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( x+y+2 \right)\sqrt{xy}-x-y-2xy\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( x+y+2 \right)\sqrt{xy}-\left( x+y+2 \right)+2-2xy\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( x+y+2 \right)\left( \sqrt{xy}-1 \right)-2\left( xy-1 \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sqrt{xy}-1 \right)\left( x+y+2-2\left( \sqrt{xy}+1 \right) \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sqrt{xy}-1 \right)\left( x+y-2\sqrt{xy} \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( \sqrt{xy}-1 \right){{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}^{2}}\ge 0\,\,\left( luon\,\,dung\,\forall xy\ge 1 \right) \\ \end{align}\)

Áp dụng bổ để trên ta có : \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{a}}\ge \frac{2}{\sqrt{\frac{c}{a}}+1}\)

\(\Rightarrow \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}-\frac{3}{2}\ge \frac{2}{\sqrt{\frac{c}{a}}+1}+\frac{4c}{c+a}-\frac{3}{2}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{2}{\sqrt{\frac{c}{a}}+1}+\frac{4c}{c+a}-\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{\frac{c}{a}}+1}+\frac{4}{1+\frac{a}{c}}\ge 3\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(t=\sqrt{\frac{a}{c}}\Rightarrow 0<t\le 1\,\,\left( Do\,\,c\ge a \right)\)

Khi đó :

\(\begin{align} & \left( * \right)\Leftrightarrow \frac{2}{\frac{1}{t}+1}+\frac{4}{1+{{t}^{2}}}\ge 3 \\ & \Leftrightarrow \frac{2t}{t+1}+\frac{4}{1+{{t}^{2}}}\ge 3 \\ & \Leftrightarrow 2t\left( 1+{{t}^{3}} \right)+4\left( 1+t \right)-3\left( 1+t \right)\left( 1+{{t}^{2}} \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow 2t+2{{t}^{3}}+4+4t-3-3{{t}^{2}}-3t-3{{t}^{3}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow -{{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+3t+1\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( 1-t \right)\left( 1+t+{{t}^{2}} \right)+3t\left( 1-t \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \left( 1-t \right)\left( {{t}^{2}}+4t+1 \right)\ge 0 \\ \end{align}\)

Ta có \(0<t\le 1\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {{t}^{2}}+4t+1>0 \\ & 1-t\ge 0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left( 1-t \right)\left( {{t}^{2}}+4t+1 \right)\ge 0\)

Do đó \(\frac{2}{\sqrt{\frac{c}{a}}+1}+\frac{4c}{c+a}-\frac{3}{2}\ge \frac{3}{2}\) .

Vậy \({{\left( \frac{a}{a+b} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{b}{b+c} \right)}^{2}}+4{{\left( \frac{c}{c+a} \right)}^{2}}\ge \frac{3}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link