Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( O' \right)\) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của

Câu hỏi số 266564:

Vận dụng cao

Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( O' \right)\) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của AB lấy điểm M khác A. Qua M kẻ các tiếp tuyến MC, MD với \(\left( O' \right)\) (C, D là các tiếp điểm và D nằm trong \(\left( O \right)\)).

a) Chứng minh \(AD.BC=AC.DB\)

b) Các đường thẳng \(AC,AD\) cắt \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(E,F\) (\(E,F\) khác A). Chứng minh đường thẳng CD đi qua trung điểm của EF.

c) Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266564

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(AD.BC=AC.DB\)

Xét \(\Delta MDA\) và \(\Delta MBD\) có:

\(\widehat{MDA}=\widehat{MBD}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD).

\(\widehat{DAM}\) chung;

\(\begin{align} & \Rightarrow \Delta MDA\sim \Delta MBD\,\,\left( g.g \right) \\ & \Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{MA}{MD} \\ \end{align}\)

Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MCB\) có:

\(\widehat{MCA}=\widehat{MBC}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

\(\widehat{CMA}\) chung;

\(\begin{align} & \Rightarrow \Delta MAC\sim \Delta MCB\,\,\left( g.g \right) \\ & \Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{MA}{MC} \\ \end{align}\)

Mà \(MC=MD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{MA}{MD}\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AD.BC=AC.DB\).

b) Các đường thẳng \(AC,AD\) cắt \(\left( O \right)\) lần lượt tại \(E,F\) (\(E,F\) khác A). Chứng minh đường thẳng CD đi qua trung điểm của EF.

Gọi \(I=CD\cap EF\).

Ta có tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\Rightarrow \widehat{BFE}=\widehat{BAC}\,\,\,\left( 1 \right)\) (góc ngoài và góc trong đối diện của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}\) (hai góc nội tiếp chắn cung BC của đường tròn \(\left( O' \right)\))

\(\Rightarrow \widehat{BFE}=\widehat{BDC}\)

\(\Rightarrow \) Tứ giác BFID là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) \(\Rightarrow \widehat{FIB}=\widehat{FDB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FB).

Do tứ giác ACBD nội tiếp đường tròn \(\left( O' \right)\Rightarrow \widehat{FDB}=\widehat{ACB}\)(cùng bù với \(\widehat{ADB}\))

\(\Rightarrow \widehat{FIB}=\widehat{ACB}\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \Delta BFI\sim \Delta BAC\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{FI}{AC}=\frac{BI}{BC}\Rightarrow \frac{FI}{BI}=\frac{AC}{BC}\)

Ta có \(\widehat{FIB}=\widehat{ACB}\Rightarrow {{180}^{0}}-\widehat{FIB}={{180}^{0}}-\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{EIB}=\widehat{ADB}\)

Xét tam giác EIB và tam giác ADB có :

\(\widehat{EIB}=\widehat{ADB}\,\,\left( cmt \right);\)

\(\widehat{IEB}=\widehat{DAB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF của đường tròn \(\left( O \right)\))

\(\Rightarrow \Delta EIB\sim \Delta ADB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{EI}{AD}=\frac{BI}{BD}\Rightarrow \frac{EI}{BI}=\frac{AD}{BD}\)

Ta có \(\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}\,\,\left( cmt \right)\) ; \(\frac{FI}{BI}=\frac{AC}{BC}\,\,\left( cmt \right)\); \(\frac{EI}{BI}=\frac{AD}{BD}\,\,\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \frac{FI}{BI}=\frac{EI}{BI}\Rightarrow FI=EI\). Mà \(I\in EF\Rightarrow I\) là trung điểm của EF.

c) Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.

Gọi \(P=OO'\cap CD;\,\,H=OO'\cap AB;\,\,K=CD\cap O'M\).

Dễ dàng chứng minh được \(OO'\bot AB;\,\,O'M\bot CD\)

Xét \(\Delta O'HM\) và \(\Delta O'KP\) có:

\(\widehat{MO'P}\) chung;

\(\widehat{O'HM}=\widehat{O'KP}={{90}^{0}}\);

\(\begin{align} & \Rightarrow \Delta O'HM\sim \Delta O'KP\,\,\left( g.g \right) \\ & \Rightarrow \frac{O'H}{O'K}=\frac{O'M}{O'P}\Rightarrow O'H.O'P=O'M.O'K \\ \end{align}\)

Do MC là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O' \right)\Rightarrow MC\bot O'C\Rightarrow \Delta O'CM\) vuông tại C.

\(\Rightarrow O'M.O'K=O'{{C}^{2}}=O'{{B}^{2}}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow O'H.O'P=O'{{B}^{2}}\Rightarrow \frac{O'H}{O'B}=\frac{O'B}{O'P}\)

Xét tam giác HO’B và tam giác BO’P có:

\(\widehat{BO'P}\) chung;

\(\begin{align} & \frac{O'H}{O'B}=\frac{O'B}{O'P}\,\,\left( cmt \right) \\ & \Rightarrow \Delta HO'B\sim \Delta BO'P\,\,\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{O'HB}=\widehat{O'BP}={{90}^{0}} \\ & \Rightarrow O'B\bot BP \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow PB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O' \right)\)

Chứng minh tương tự ta có PA cũng là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O' \right)\).

Do A, B cố định \(\Rightarrow P\) cố định.

Qua B kẻ tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) cắt EF tại Q. Do \(\left( O \right)\) và B cố định \(\Rightarrow \) Đường thẳng BQ là cố định.

Ta có:

\(\widehat{QBF}=\widehat{QEB}=\widehat{BAF}=\widehat{PBD};\)

\(\widehat{BFQ}=\widehat{BDP}\) (cùng bù với \(\widehat{BFI}\))

\(\Rightarrow \Delta BDP\sim \Delta BFQ\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \widehat{BPD}=\widehat{BQF}\Rightarrow \) Tứ giác BPIQ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

\(\Rightarrow \widehat{BPQ}=\widehat{BIQ}=\widehat{BDF}=\widehat{BCA}\)

Lại có \(\widehat{BCA}=\frac{1}{2}\widehat{BO'A}=\widehat{BO'O}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)

\(\Rightarrow \widehat{BPQ}=\widehat{BIQ}=\widehat{BDF}=\widehat{BCA}=\widehat{BO'O}\)

Ta có \(\widehat{O'BO}={{90}^{0}}+\widehat{OPB}=\widehat{OBQ}+\widehat{OPB}=\widehat{PBQ}\)

\(\Rightarrow \Delta PBQ\sim \Delta O'BO\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{BQ}{BO}=\frac{BP}{BO'}\Rightarrow BQ=\frac{BP.BO}{BO'}=const\)

Điểm B cố định, đường thẳng BQ cố định, BQ không đổi \(\Rightarrow Q\) cố định và \(Q\in EF\).

Vậy EF luôn đi qua điểm Q cố định khi M thay đổi (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link