Cho nửa đường tròn (O) đường kính \(MN=2R\). Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại N. Trên cung MN

Câu hỏi số 267026:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn (O) đường kính \(MN=2R\). Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại N. Trên cung MN lấy điểm E tùy ý (E không trùng với M và N), tia ME cắt (d) tại điểm F. Gọi P là trung điểm của ME, tia PO cắt (d) tại điểm Q.

1. Chứng minh ONFP là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh: \(OF\bot MQ\) và \(PM.PF=PO.PQ\).

3. Xác định vị trí điểm E trên cung MN để tổng \(MF+2ME\) đạt giá trị nhỏ nhất .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267026

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác OPNF có tổng hai góc đối bằng 1800

b) Chứng minh O là trực tâm tam giác MFQ. Chứng minh \(\Delta OPM\backsim \Delta FPQ\).

c) Sử dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết

a) P là trung điểm của ME \(\Rightarrow OP\bot ME\Rightarrow \widehat{OPE}={{90}^{0}}\).

\(\widehat{ONF}={{90}^{0}}\,\,\left( gt \right)\)

Xét tứ giác OPNF có là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

b) Xét tam giác MFQ có \(FQ\bot ME;\,\,MN\bot FQ;\,\,FQ\cap MN=O\Rightarrow O\) là trực tâm tam giác MFQ.

\(\Rightarrow OF\bot MQ\).

Xét tứ giác MPNQ có \(\widehat{MPQ}=\widehat{MNQ}={{90}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác MPNQ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh P, N cùng nhìn MQ dưới góc 900).

\(\Rightarrow \widehat{PMN}=\widehat{PQN}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP).

Xét tam giác OPM và tam giác FPQ có \(\widehat{OPM}=\widehat{FOQ}={{90}^{0}};\,\,\widehat{PMN}=\widehat{PQN}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta OPM\backsim \Delta FPQ\,\,\left( g.g \right)\)

\(\Rightarrow \frac{PO}{PF}=\frac{PM}{PQ}\Rightarrow PM.PF=PO.PQ\)

c) Xét tam giác vuông MNF có \(ME.MF=M{{N}^{2}}=4{{R}^{2}}\)

Ta có \(MF+2ME\overset{Cauchy}{\mathop{\ge }}\,2\sqrt{2ME.MF}=2\sqrt{2.4{{R}^{2}}}=4R\sqrt{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(MF=2ME\Rightarrow \) E là trung điểm của MF.

Tam giác MNF có NE là đường cao đồng thời là trung tuyến \(\Rightarrow \Delta MNF\) cân tại N.

\(\Rightarrow NE\) là phân giác của \(\widehat{MNF}\Rightarrow \widehat{MNE}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta MNE\) vuông cân tại E \(\Rightarrow ME=EN\Rightarrow \) E là điểm chính giữa cung MN.

Vậy khi E là điểm chính giữa cung MN thì \(MF+2ME\) đạt GTNN bằng \(4R\sqrt{2}\)

3, Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: \(MF+2ME\ge 2\sqrt{MF.2ME}=2\sqrt{2M{{N}^{2}}}=2\sqrt{2{{(2R)}^{2}}}=4\sqrt{2}R.\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow MF=2ME\Rightarrow E\) là trung điểm của MF \(\Leftrightarrow OE\|FN\Leftrightarrow E\) là điểm chính giữa cung MN.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link