Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm, M và B nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MN và AK. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.
b) KA là tia phân giác của góc MKN.
c) \(A{N^2} = AK.AH\)
d) H là trực tâm tam giác ABC.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác AMKO có hai đỉnh M, K cùng nhìn AO dưới các góc bằng nhau.
b) Chứng minh tứ giác ANOK nội tiếp, dựa vào tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau chứng minh \(\widehat {AKM} = \widehat {AKN}\) .
c) Chứng minh \(\Delta AMH\backsim \Delta AKM\) và sử dụng tính chất AM = AN.
a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.
Ta có : \(\widehat {AMO} = {90^o}\) (Do AM là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại M)
Ta có \(\widehat {AMO} = \widehat {AKO} = {90^0}\) (gt) \( \Rightarrow \) Tứ giác AMKO có hai đỉnh M, K kề nhau cùng nhìn cạnh AO dưới 1 góc 900
\( \Rightarrow \) Tứ giác AMKO là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).
b) KA là tia phân giác của góc MKN.
Ta có : \(\widehat {ANO} = {90^o}\) (Do AN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại N)
Xét tứ giác ANOK có \(\widehat {ANO} + \widehat {AKO} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác ANOK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
Tứ giác AMKO nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {AOM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
Tứ giác ANOK nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {AKN} = \widehat {AON}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Mà \(\widehat {AOM} = \widehat {AON}\) (tính chất hai tiếp tuyến AM và AN cắt nhau tại A).
\( \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {AKN} \Rightarrow KA\) là phân giác của góc MKN.
c) \(A{N^2} = AK.AH\)
Ta có \(AM = AN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow A\) thuộc trung trực của MN.
\(OM = ON\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc trung trực của MN.
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của MN \( \Rightarrow OA \bot MN\).
\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AOM}\) (cùng phụ với góc OAM).
Mà \(\widehat {AKM} = \widehat {AOM}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {AMN} = \widehat {AMH}\)
Xét tam giác AMH và tam giác AKM có :
\(\widehat {MAK}\) chung ;
\(\widehat {AKM} = \widehat {AMH}\,\,\left( {cmt} \right)\) ;
\(\Rightarrow \Delta AMH\backsim \Delta AKM\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AM}{AH}=\frac{AK}{AM}\Rightarrow A{{M}^{2}}=AH.AK\)
Mà \(AM = AN\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow A{N^2} = AH.AK\)
d) H là trực tâm tam giác ABC.
Gọi \(D\) là giao điểm của \(AC\) và \(\left( O \right).\)
Xét \(\Delta ADN\) và \(\Delta ACN\) ta có :
\(\angle CAN\,\,\,chung\)
\(\angle DNA = \angle DCN\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(DN\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ADN \sim \Delta ACN\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow AD.AC = A{N^2} \Rightarrow AD.AC = AH.AK\,\,\,\left( {theo\,\,\,cm\,\,b} \right) \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AK}}\end{array}\)
Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta ACK\) ta có :
\(\begin{array}{l}\angle KAC\,\,\,chung\\\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AK}}\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AHD \sim \Delta ACK\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \angle AKC = \angle ADH = {90^0}.\\ \Rightarrow HD \bot DC\end{array}\)
Lại có \(DB \bot DC \Rightarrow B,\,\,H,\,\,D\) thẳng hàng.
Hay \(BH \bot AC.\)
Xét \(\Delta ABC\) ta có \(BD,\,\,AH\) là hai đường cao của tam giác mà \(BD \cap AH = \left\{ H \right\} \Rightarrow H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
