Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; R). Đường tròn \(\left( O;R \right)\) tiếp xúc với các

Câu hỏi số 267782:

Vận dụng

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; R). Đường tròn \(\left( O;R \right)\) tiếp xúc với các cạnh BC, AB lần lượt tại D, N. Kẻ đường kính DI của đường tròn \(\left( O;R \right)\) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O;R \right)\) tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F.

1) Chứng minh tứ giác OIEN nội tiếp được 1 đường tròn.

2) Chứng minh tam giác BOE vuông và \(EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}\)

3) Gọi \({{A}_{1}}\)là giao điểm của AO với cạnh BC, \({{B}_{1}}\) là giao điểm của BO với cạnh AC, \({{C}_{1}}\) là giao điểm của CO với cạnh AB. Chứng minh \(\frac{AO}{A{{A}_{1}}}+\frac{BO}{B{{B}_{1}}}+\frac{CO}{C{{C}_{1}}}=2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267782

Phương pháp giải

1) Chứng minh tứ giác OIEN có tổng hai góc đối bằng 180⁰

2) Dựa vào tính chất: 2 tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc với nhau.

3) Đưa về tỉ số diện tích tam giác.

Giải chi tiết

1) Ta có : \(\widehat{OIE}={{90}^{0}}\,\) (Do EF là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại I)

\(\widehat{OIE}={{90}^{0}}\,\) (Do (O) tiếp xúc với AB tại N)

Nên \(\widehat{OIE}=\widehat{ONE}={{90}^{0}}\,\,\left( gt \right)\Rightarrow \widehat{OIE}+\widehat{ONE}={{180}^{0}}\) .

Vậy tứ giác OIEN là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

2) Ta có : EF và EB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E.

Theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau thì ta có OE chính là tia phân giác của góc \(\widehat{ION}\)

Lại có BA và BC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại B của đường tròn (O) nên OB chính là tia phân giác của góc NOD.

Áp tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau với OE là OB lần lượt là phân giác của các góc \(\widehat{ION}\) và \(\widehat{NOD}\)

Mà \(\widehat{ION}\) và \(\widehat{NOD}\) là hai góc kề bù (Do ID là đường kính của đường tròn (O)

\(\Rightarrow OE\bot OB\Rightarrow \Delta BOE\) vuông tại O.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(EN.BN=O{{N}^{2}}={{R}^{2}}\)

Mà \(EN=EI;\,\,BN=BD\Rightarrow EI.BD={{R}^{2}}\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Chứng minh tương tự ta có tam giác FOC vuông tại O và \(FI.CD={{R}^{2}}\)

Vậy \(EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}\)

3) Ta chứng minh được

\(\begin{align} & \frac{AO}{A{{A}_{1}}}=\frac{A{{A}_{1}}-O{{A}_{1}}}{A{{A}_{1}}}=1-\frac{O{{A}_{1}}}{A{{A}_{1}}}=1-\frac{{{S}_{\Delta OBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}} \\ & \frac{BO}{B{{B}_{1}}}=\frac{B{{B}_{1}}-O{{B}_{1}}}{B{{B}_{1}}}=1-\frac{O{{B}_{1}}}{B{{B}_{1}}}=1-\frac{{{S}_{\Delta OAC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}} \\ & \frac{CO}{C{{C}_{1}}}=\frac{C{{C}_{1}}-O{{C}_{1}}}{C{{C}_{1}}}=1-\frac{O{{C}_{1}}}{C{{C}_{1}}}=1-\frac{{{S}_{\Delta OAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}} \\ \end{align}\)

Chứng minh \(\frac{{{S}_{\Delta OBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{O{{A}_{1}}}{A{{A}_{1}}}\)

Từ A kẻ AH vuông góc với BC ta có:

\(\frac{{{S}_{\Delta OBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{\frac{1}{2}OD.BC}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{OD}{AH}\)

Lại có \(AH\parallel OD\)(vì cùng vuông góc với BC)

Nên theo Talet trong tam giác \(A{{A}_{1}}H\) ta có: \(\frac{OD}{AH}=\frac{O{{A}_{1}}}{A{{A}_{1}}}\)

Vậy \(\frac{{{S}_{\Delta OBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{O{{A}_{1}}}{A{{A}_{1}}}\)

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\frac{{{S}_{\Delta OAC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{O{{B}_{1}}}{B{{B}_{1}}};\frac{{{S}_{\Delta OAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{O{{C}_{1}}}{C{{C}_{1}}}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \frac{AO}{A{{A}_{1}}}+\frac{BO}{B{{B}_{1}}}+\frac{CO}{C{{C}_{1}}}=1-\frac{{{S}_{\Delta OBC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}+1-\frac{{{S}_{\Delta OAC}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}+1-\frac{{{S}_{\Delta OAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}} \\ & =3-\frac{{{S}_{\Delta OBC}}+{{S}_{\Delta OAC}}+{{S}_{\Delta OAB}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=3-1=2\,\,\left( dpcm \right) \\ \end{align}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link