1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}-4=0\ \ \ \left( 1 \right)\) (Với m là tham số). a) Giải phương

Câu hỏi số 267781:

Vận dụng

1) Cho phương trình \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}-4=0\ \ \ \left( 1 \right)\) (Với m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với \(m=6\)

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\)sao cho \(\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Giải phương trình \(3\sqrt{x+5}+6\sqrt{5-x}=15-3x+4\sqrt{25-{{x}^{2}}}\)

A. 1) a) \(S=\left\{ -5;10 \right\}\) b) \(m=2\)

2) \(x=4\)

B. 1) a) \(S=\left\{ -4;10 \right\}\) b) \(m=0\)

2) \(x=4\)

C. 1) a) \(S=\left\{ -4;6 \right\}\) b) \(m=4\)

2) \(x=6\)

D. 1) a) \(S=\left\{ -4;10 \right\}\) b) \(m=12\)

2) \(x=8\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267781

Phương pháp giải

1) +) Thay \(m=6\) vào phương trình (1) và sử dụng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình bậc hai.

+) Tìm điều kiện của m đề phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét để tìm điều kiện của m cho hệ thức bài cho đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Biến đổi phương trình và giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

1) \({{x}^{2}}-mx-{{m}^{2}}-4=0\ \ \ \left( 1 \right)\) (Với m là tham số).

a) Thay \(m=6\) vào phương trình ta được \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x-40=0\)

Ta có: \(\Delta '={{3}^{2}}+40=49>0\Rightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt: \({{x}_{1}}=\frac{3+\sqrt{49}}{1}=10;\,\,{{x}_{2}}=\frac{3-\sqrt{49}}{1}=-4\)

Vậy với \(m=6\) thì phương trình (1) có tập nghiệm là: \(S=\left\{ -4;10 \right\}\)

b) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có: \(\Delta ={{m}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}+4 \right)=5{{m}^{2}}+16\,>0\,\forall \,m\)

\(\Rightarrow \,\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}-4 \\ \end{align} \right.\)

Đặt: \(A=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\)

Ta có: \({{A}^{2}}={{\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|}^{2}}=x_{1}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{A}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ & ={{m}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}+4 \right)=5{{m}^{2}}+16\ge 16. \\ \end{align}\)\

\(\Rightarrow A^2\) đạt giá trị nhỏ nhất \(=16\Leftrightarrow m=0\)

Vậy để \(A=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(m=0\)

2) \(3\sqrt{x+5}+6\sqrt{5-x}=15-3x+4\sqrt{25-{{x}^{2}}}\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{align} & x+5\ge 0 \\ & 5-x\ge 0 \\ & 25-{{x}^{2}}\ge 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -5\le x\le 5\)

\(\left( * \right)\Leftrightarrow 3\sqrt{x+5}+6\sqrt{5-x}=3\left( 5-x \right)+4\sqrt{\left( 5-x \right)\left( 5+x \right)}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 5} = a\;\;\left( {a \ge 0} \right)\\
\sqrt {5 - x} = b\;\;\left( {b \ge 0} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = x + 5\\
{b^2} = 5 - x
\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 10.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
3a + 6b = 3{b^2} + 4ab
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
3{b^2} + 4ab - 3a - 6b = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
3{b^2} + 4ab - 3a - 6b + {a^2} + {b^2} = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
{a^2} + 4ab + 4{b^2} - 3\left( {a + 2b} \right) = 10
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
{\left( {a + 2b} \right)^2} - 3\left( {a + 2b} \right) - 10 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
\left[ \begin{array}{l}
a + 2b = - 2\;\;\left( {ktm\;\;do\;\;a \ge 0,\;\;b \ge 0} \right)\\
a + 2b = 5
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = 10\\
a = 5 - 2b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 5 - 2b\\
25 - 20b + 4{b^2} + {b^2} = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 5 - 2b\\
5{b^2} - 20b + 15 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 5 - 2b\\
\left[ \begin{array}{l}
b = 1\;\;\left( {tm} \right)\\
b = 3\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a = 3\;\;\left( {tm} \right)\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a = - 1\;\;\left( {ktm} \right)\\
b = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 5 = {3^2}\\
5 - x = {1^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
x = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\;\;\left( {tm} \right).
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=4\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link