Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, \(AB=BC=a,\ AD=2a,\,\,SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 270092:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, \(AB=BC=a,\ AD=2a,\,\,SA\) vuông góc với đáy (ABCD), \(SA=a\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, SD. Cosin của góc giữa MN và (SAC) là

A. \(\frac{\sqrt{55}}{10}\).

B. \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

C. \(\frac{1}{2}\).

D. \(\frac{2\sqrt{3}}{5}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270092

Phương pháp giải

- Gắn hệ trục tọa độ.

- Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: \(\sin \left( d;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}\)

(trong đó, \(\overrightarrow{u}\) là 1 VTCP của đường thẳng d, \(\overrightarrow{n}\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)).

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ (cho \(a=1\)).

Trong đó, \(A\equiv O\left( 0;0;0 \right),\,\,B\left( 1;0;0 \right),\,\,C\left( 1;1;0 \right),\,\,D\left( 0;2;0 \right)\)

\(S\left( 0;0;1 \right),\,\,M\left( 1;\frac{1}{2};0 \right),\,N\left( 0;1;\frac{1}{2} \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -1;\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right),\,\,\overrightarrow{AC}=\left( 1;1;0 \right),\,\,\overrightarrow{AS}=\left( 0;0;1 \right)\)\(\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AS} \right]=\left( 1;-1;0 \right)\)

\(\Rightarrow \) Đường thẳng MN có 1 VTPT \(\overrightarrow{u}\left( 2;-1;-1 \right)\), mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow{n}\left( 1;-1;0 \right)\).

Góc giữa MN và (SAC): \(\sin \left( MN;\left( SAC \right) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}=\frac{\left| 2.1+\left( -1 \right).\left( -1 \right)+\left( -1 \right).0 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{3}{\sqrt{6}.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\Rightarrow \cos \left( MN;\left( SAC \right) \right)=\sqrt{1-{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.