Cho hình chóp \(S.ABC\) có góc \(\widehat{ASB}=\widehat{CSB}={{60}^{0}}\), \(\widehat{ASC}={{90}^{0}}\),

Câu hỏi số 270094:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có góc \(\widehat{ASB}=\widehat{CSB}={{60}^{0}}\), \(\widehat{ASC}={{90}^{0}}\), \(SA=a,\,\,SB=SC=2a\). Khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. \(d=2a\sqrt{6}\).

B. \(d=\frac{a\sqrt{6}}{3}\).

C. \(d=\frac{2a\sqrt{6}}{3}\).

D. \(d=a\sqrt{6}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270094

Phương pháp giải

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) thông qua khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (SBC), thông qua khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (SBC) (với A’ là điểm đối xứng của S qua A và N là trung điểm A’C)

Giải chi tiết

Theo đề bài, ta có: các tam giác \(SAB,\,\,SBC\) có: \(\widehat{ASB}=\widehat{CSB}={{60}^{0}}\) và \(SA'=\,\,SB=SC=2a\)

\(\Rightarrow \Delta SAB,\,\,\Delta SBC\) đều, cạnh bằng 2a.

\(\Delta SA'C\) vuông cân tại S \(\Rightarrow A'C=SA'.\sqrt{2}=2\sqrt{2}a\)

\(\Rightarrow \Delta A'BC\) vuông cân tại B

Gọi N là trung điểm của A’C \(\Rightarrow SN\bot (A'BC)\)

Gọi M là trung điểm của BC \(\Rightarrow MN//A'B\). Mà \(A'B\bot BC\Rightarrow MN\bot BC\Rightarrow BC\bot (SMN)\)

Ta có: \(A'S\cap (SBC)=S,\,\,A'S=2AS\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( A';\left( SBC \right) \right)\)

Mặt khác: \(A'C\cap (SBC)=C,\,\,A'C=2NC\Rightarrow d\left( A';\left( SBC \right) \right)=2d\left( N;\left( SBC \right) \right)\)

\(\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=d\left( N;\left( SBC \right) \right)\)

Trong \(\left( SMN \right)\), kẻ \(NH\bot SM\Rightarrow SM\bot (SBC)\Rightarrow d\left( N;(SBC) \right)=NH\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=NH\)

+) Tính NH:

Ta có: \(MN=\frac{1}{2}A'B=\frac{1}{2}.2a=a\)(vì \(\Delta SA'B\) đều, cạnh bằng 2a), \(SN=\frac{1}{2}A'C=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}a=\sqrt{2}a\) (vì \(\Delta SA'C\) vuông tại S)

\(\Delta SMN\) vuông tại N, \(NH\bot SM\Rightarrow \frac{1}{N{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{N}^{2}}}+\frac{1}{M{{N}^{2}}}=\frac{1}{2{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow NH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.