Cho hàm số \(y = - {x^3} + m{x^2} - x - 4m\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) và A là điểm cố

Câu hỏi số 270234:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = - {x^3} + m{x^2} - x - 4m\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) và A là điểm cố định có hoành độ âm của \(\left( {{C_m}} \right)\). Giá trị của m để tiếp tuyến tại A của \(\left( {{C_m}} \right)\) vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là:

A. \(m = - 3\)

B. \(m = - 6\)

C. \(m = 2\)

D. \(m = - \dfrac{7}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270234

Phương pháp giải

+) Đưa về phương trình ẩn m, tìm điều kiện để phương trình ẩn m nghiệm đúng với mọi m. Tìm A.

+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là \(y'\left( {{x_A}} \right)\).

+) Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng -1.

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\,\,\left( {{x_0} < 0} \right)\) là điểm cố định của đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( {{C_m}} \right)\,\,\forall m\\ \Rightarrow {y_0} = - x_0^3 + mx_0^2 - {x_0} - 4m\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow - x_0^3 - {y_0} + mx_0^2 - {x_0} - 4m = 0\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x_0^3 - {y_0} - {x_0} = 0\\x_0^2 - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = - 2\\{y_0} = 10\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 2;10} \right)\end{array}\)

Ta có \(y' = - 3{x^2} + 2mx - 1 \Rightarrow y'\left( { - 2} \right) = - 13 - 4m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến tại A của \(\left( {{C_m}} \right)\) là: \(y = \left( { - 13 - 4m} \right)\left( {x + 2} \right) + 10\,\,\left( {{d_1}} \right)\)

Phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình \(y = x\,\,\left( {{d_2}} \right)\)

\(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right) \Leftrightarrow \left( { - 13 - 4m} \right).1 = - 1 \Leftrightarrow m = - 3\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.