Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

Câu hỏi số 270245:

Vận dụng cao

Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) sao cho khoảng cách từ điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\) đến tiếp tuyến tại \(\left( C \right)\) tại M là lớn nhất?

A. \({M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right);\,\,{M_2}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\)

B. \({M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right);\,\,{M_2}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\)

C. \({M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right);\,\,{M_2}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\)

D. \({M_1}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right);\,\,{M_2}\left( { - 1 - \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270245

Phương pháp giải

+) Gọi \(M\left( {a;\frac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (d).

+) Tính khoảng cách từ I đến d và sử dụng BĐT Cauchy tìm GTLN của \(d\left( {I;d} \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ : \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) ; \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Gọi \(M\left( {a;\frac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) ta có phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị \(\left( C \right)\) là:

\(\begin{array}{l}y = \frac{3}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \frac{{2a - 1}}{{a + 1}}\,\\ \Leftrightarrow \frac{3}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}x - y - \frac{{3a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + \frac{{2a - 1}}{{a + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow 3x - {\left( {a + 1} \right)^2}y - 3a + \left( {2a - 1} \right)\left( {a + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x - {\left( {a + 1} \right)^2}y + 2{a^2} - 2a - 1 = 0\\ \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| { - 3 - 2{{\left( {a + 1} \right)}^2} + 2{a^2} - 2a - 1} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {a + 1} \right)}^4}} }} = \frac{{\left| { - 6a - 6} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {a + 1} \right)}^4}} }} = \frac{6}{{\sqrt {\frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + {{\left( {a + 1} \right)}^2}} }}\end{array}\)

Ta có \(\frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} + {\left( {a + 1} \right)^2}\mathop \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {\frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}.{{\left( {a + 1} \right)}^2}} = 6\)

\( \Rightarrow d\left( {I;d} \right) \le \sqrt 6 \)

Vậy \({d_{\max }} = \sqrt 6 \Leftrightarrow \frac{9}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = {\left( {a + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1 + \sqrt 3 \Rightarrow M\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right)\\a = - 1 - \sqrt 3 \Rightarrow M\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.