Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng 2, khoảng cách

Câu hỏi số 270468:

Vận dụng cao

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng \(1\) và \(\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’ và \(A'M = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(\sqrt 3 \)

D. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270468

Phương pháp giải

- Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BB',CC'\) và chứng minh tam giác \(AEF\) vuông.

- Tính thể tích khối chóp \(A.BCC'B'\) và suy ra thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)

Giải chi tiết

Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(BB',CC'\) \( \Rightarrow AE = 1,AF = \sqrt 3 \)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot AE\\BB' \bot AF\end{array} \right. \Rightarrow BB' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow BB' \bot FE \Rightarrow FE = d\left( {C,BB'} \right) = 2\)

Suy ra \(\Delta AEF\) vuông tại \(A\)

Gọi \(K = MM' \cap FE \Rightarrow K\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow AK = \frac{1}{2}FE = 1\)

Lại có \(MM'//BB' \Rightarrow MM' \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MM' \bot AK\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{AM{'^2}}} \Rightarrow 1 = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{3}{4} \Rightarrow AM = 2\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(FE \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{A{F^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l}MM{'^2} = A{M^2} + AM{'^2} = \frac{{16}}{3} \Rightarrow MM' = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = BB'\\{S_{BB'C'C}} = d\left( {C,BB'} \right).BB' = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{3}{2}{V_{ABCC'B'}} = \frac{3}{2}.\frac{1}{3}AH.{S_{BB'C'C}} = \frac{3}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{8}{{\sqrt 3 }} = 2\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.