Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = 2a,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi số 270554:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = 2a,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng

A. \(\frac{{\sqrt {30} a}}{6}.\)

B. \(\frac{{4\sqrt {21} a}}{{21}}.\)

C. \(\frac{{2\sqrt {21} a}}{{21}}.\)

D. \(\frac{{\sqrt {30} a}}{{12}}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270554

Phương pháp giải

Trường hợp xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau và ko vuông góc với nhau ta dựng đoạn vuông góc chung của chúng bằng cách chọn một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Sau đó quy về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.

Giải chi tiết

Từ C kẻ CE//BD, CE cắt AD kéo dài tại E. Khi đó ta có: \(\left( {SEC} \right) \supset SC;\left( {SEC} \right)\parallel BD\) .

Khi đó ta có: \(d\left( {BD;SC} \right) = d\left( {BD;\left( {SEC} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {SEC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SEC} \right)} \right)\) (do O là trung điểm của AC).

Từ A kẻ \(AI \bot CE = \left\{ I \right\}\) . Ta có: \(EC \bot AI;EC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow EC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SEC} \right) \bot \left( {SAI} \right);\left( {SEC} \right) \cap \left( {SAI} \right) = SI\) . Từ A kẻ AH vuông góc với SI. Khi đó ta có: \(d\left( {A;\left( {SEC} \right)} \right) = AH\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{AEC}} = \frac{1}{2}CD.AE = \frac{1}{2}a.4a = 2{a^2}\\ = \frac{1}{2}.AI.EC = \frac{1}{2}.AI.BD = \frac{1}{2}AI.\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = \frac{1}{2}AI.a\sqrt 5 \\ \Rightarrow AI = \frac{{2.2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{4a}}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAI ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{5}{{16{a^2}}} = \frac{{21}}{{16{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{4a}}{{\sqrt {21} }} = \frac{{4a\sqrt {21} }}{{21}}\)

Khi đó ta có: \(d\left( {BD,SC} \right) = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.