Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{10ab +

Câu hỏi số 270564:

Vận dụng cao

Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) = 2\) . Giá trị của \(a + 2b\) bằng

A. \(\frac{5}{2}.\)

B. 6.

C. 22.

D. \(\frac{{11}}{2}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:270564

Phương pháp giải

- Chứng minh các cơ số trong biểu thức logarit đều lớn \(1\) và đánh giá vế trái đẳng thức đã cho \( \ge 2\)

- Sử dụng điều kiện xảy ra dấu \( = \) và tìm \(a,b\)

Giải chi tiết

Vì \(a,b > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}10a + 3b + 1 > 1\\25{a^2} + {b^2} + 1 > 1\\10ab + 1 > 1\end{array} \right. \Rightarrow {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) > 0\)

Lại có : \(25{a^2} + {b^2} + 1 \ge 10ab + 1\,\,\left( {do\,\,{{\left( {5a} \right)}^2} + {b^2} \ge 2.5a.b = 10ab} \right)\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 5a\( \Rightarrow {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) \ge {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right)\)

Suy ra :

\(2 = {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) \ge {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right)\)

Mà \({\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) = {\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) + \frac{1}{{{{\log }_{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right)}} \ge 2\)

Dấu \( = \) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 5a\\{\log _{10a + 3b + 1}}\left( {10ab + 1} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5a\\10ab + 1 = 10a + 3b + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5a\\a = \frac{1}{2}\left( {tm} \right);a = 0\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có : \(a+2b=\frac{1}{2}+2.\frac{5}{2}=\frac{11}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.