Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;\ 0;\ 2 \right)\) và đi qua

Câu hỏi số 272371:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;\ 0;\ 2 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 0;\ 1;\ 1 \right).\) Xét các điểm \(B,\ C,\ D\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(AB,\ AC,\ AD\) đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng:

A. \(\frac{8}{3}\)

B. \(4\)

C. \(\frac{4}{3}\)

D. \(8\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

+) Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam diện vuông tại \(A:\ \ R=IA=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}.\)

+) Thể tích tam diện vuông: \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.AC.AD.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow{IA}=\left( 1;\ 1;-1 \right)\Rightarrow R=IA=\sqrt{3}.\)

Lại có: \(A:\ \ R=IA=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}=12\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}.A{{D}^{2}}}\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow \sqrt[3]{A{{B}^{2}}.A{{C}^{2}}.A{{D}^{2}}}\le 4\Leftrightarrow AB.AC.AD\le 8. \\ & \Rightarrow {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.AC.AD\le \frac{1}{6}.8=\frac{4}{3}. \\\end{align}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:272371

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.