Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y={{x}^{8}}+\left( m-3

Câu hỏi số 272372:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y={{x}^{8}}+\left( m-3 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{4}}+1\) đạt cực tiểu tại \(x=0?\)

A. 4

B. 7

C. 6

D. Vô số

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Ta có: \({{x}_{0}}\) là cực tiểu của hàm số \(y=f\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & y'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\ & y''\left( {{x}_{0}} \right)>0 \\ \end{align} \right..\)

Giải chi tiết

Ta có: \(y'=8{{x}^{7}}+5\left( m-3 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{3}}={{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right].\)

\(\Rightarrow y''=56{{x}^{6}}+20\left( m-3 \right){{x}^{3}}-12\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{2}}.\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right]=0\ \ \ \left( * \right)\)

TH1: Xét \({{m}^{2}}-9=0\Leftrightarrow m=\pm 3.\)

+) Với \(m=3\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow 8{{x}^{7}}=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y\left( 0 \right)=1\Rightarrow x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số.

+) Với \(m=-3\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 8{{x}^{4}}-30x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}\left( 8{{x}^{3}}-30 \right)=0\)

\(\Rightarrow x=0\) là nghiệm bội bốn \(\Rightarrow x=0\) không là cực trị của hàm số.

TH2: Xét \({{m}^{2}}-9\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3.\)

Ta có: \(y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left[ 8{{x}^{5}}+5\left( m-3 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)x \right]=0\ \ \ \left( 1 \right)\)

Vì \({{x}^{2}}\ge 0\) nên số cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là số nghiệm của phương trình:

\(g\left( x \right)=8{{x}^{5}}+5\left( m-3 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)x=0\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\Leftrightarrow g'\left( 0 \right)>0\)

Có \(g'\left( x \right)=40{{x}^{4}}+10\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right).\)

\(\begin{align} & \Rightarrow g'\left( 0 \right)>0\Leftrightarrow -4\left( {{m}^{2}}-9 \right)>0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3 \\ & \Rightarrow m\in \left\{ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2 \right\}. \\\end{align}\)

Kết hợp 2 TH ta có 6 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:272372

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.