Cho hai hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+\frac{3}{4}\) và \(g\left( x

Câu hỏi số 272370:

Vận dụng

Cho hai hàm số \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+\frac{3}{4}\) và \(g\left( x \right)=d{{x}^{2}}+ex-\frac{3}{4}\ \ \left( a,\ b,\ c,\ d\in R \right).\) Biết rằng đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \(-2;\ 1;\ 3\) (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng:

A. \(\frac{253}{48}\)

B. \(\frac{125}{24}\)

C. \(\frac{125}{48}\)

D. \(\frac{253}{24}\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right),\ y=g\left( x \right),\ x=a,\ x=b\) là:

\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}.\)

Giải chi tiết

Ta có đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là \(-2;\ 1;\ 3\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 8a + 4b - 2c + \frac{3}{4} = 4d - 2e - \frac{3}{4}\\
a + b + c + \frac{3}{4} = d + e - \frac{3}{4}\\
27a + 9b + 3c + \frac{3}{4} = 9d + 3e - \frac{3}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a - 2b + c + 2d - e = \frac{3}{4}\\
a + b + c - d - e = - \frac{3}{2}\\
9a + 3b + c - 3d - e = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a - 2\left( {b - d} \right) + \left( {c - e} \right) = \frac{3}{4}\\
a + \left( {b - d} \right) + \left( {c - e} \right) = - \frac{3}{2}\\
9a + 3\left( {b - d} \right) + \left( {c - e} \right) = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{4}\\
b - d = - \frac{1}{2}\\
c - e = - \frac{5}{4}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Dựa vào đồ thị hình vẽ ta có:

\(\begin{align} & S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}+\int\limits_{1}^{3}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx} \\ & =\int\limits_{-2}^{1}{\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+\frac{3}{4}-d{{x}^{2}}-ex+\frac{3}{4} \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{\left( d{{x}^{2}}+ex-\frac{3}{4}-a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}-cx-\frac{3}{4} \right)dx} \\ & =\int\limits_{-2}^{1}{\left( a{{x}^{3}}+\left( b-d \right){{x}^{2}}+\left( c-e \right)x+\frac{3}{2} \right)dx}+\int\limits_{1}^{3}{\left( -a{{x}^{3}}-\left( b-d \right){{x}^{2}}-\left( c-e \right)x-\frac{3}{2} \right)dx} \\ & =\int\limits_{-2}^{1}{\left[ \frac{1}{4}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{5}{4}x+\frac{3}{2} \right]dx}+\int\limits_{1}^{3}{\left[ -\frac{1}{4}{{x}^{3}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{4}x-\frac{3}{2} \right]dx} \\ & =\left. \left[ \frac{{{x}^{4}}}{16}-\frac{{{x}^{3}}}{6}-\frac{5{{x}^{2}}}{8}+\frac{3}{2}x \right] \right|_{-2}^{1}-\left. \left[ \frac{{{x}^{4}}}{16}-\frac{{{x}^{3}}}{6}-\frac{5{{x}^{2}}}{8}+\frac{3}{2}x \right] \right|_{1}^{3} \\ & =-\frac{15}{16}-\frac{3}{2}+\frac{15}{8}+\frac{9}{2}-\left( 5-\frac{13}{3}-5+3 \right)=\frac{253}{48}. \\\end{align}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:272370

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.