Cho \({a_1} < {a_2} < .... < {a_n}\), n là số tự nhiên không âm, là các số nguyên dương và

Câu hỏi số 272677:

Vận dụng cao

Cho \({a_1} < {a_2} < .... < {a_n}\), n là số tự nhiên không âm, là các số nguyên dương và không có 2 số nào liên tiếp. Đặt \(S = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\). Chứng minh rằng luôn tồn tại 1 số chính phương b thỏa mãn: \({S_n} \le b \le {S_{n + 1}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272677

Giải chi tiết

Vì \({S_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \Rightarrow {S_{n + 1}} = {S_n} + {a_{n + 1}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {{S_{n + 1}}} - \sqrt {{S_n}} \ge 1\\ \Leftrightarrow {S_{n + 1}} \ge {\left( {\sqrt {{S_n}} + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {S_n} + {a_{n + 1}} \ge {S_n} + 2\sqrt {{S_n}} + 1\\ \Leftrightarrow {a_{n + 1}} \ge 2\sqrt {{S_n}} + 1\end{array}\)

Vì dãy số trên không có 2 số nào liên tiếp nên

\(\begin{array}{l}{a_{n + 1}} \ge {a_n} + 2\\{a_n} \ge {a_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {a_{n + 1}} \ge {a_{n - 1}} + 2.2\\.............\\{a_2} \ge {a_1} + 2 \Rightarrow {a_{n + 1}} \ge {a_1} + n.2\\ \Rightarrow n.{a_{n + 1}} \ge {a_1} + {a_2} + ..... + {a_n} + 2\left( {1 + 2 + 3 + .... + n} \right)\\ \Leftrightarrow n{a_{n + 1}} - n\left( {n + 1} \right) \ge {S_n}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {n{a_{n + 1}} - n\left( {n + 1} \right)} + 1 \ge 2\sqrt {{S_n}} + 1\end{array}\)

Ta sẽ chứng minh

\(\begin{array}{l}{a_{n + 1}} \ge 2\sqrt {n{a_{n + 1}} - n\left( {n + 1} \right) + 1} \\ \Leftrightarrow a_{n + 1}^2 - 2{a_{n + 1}} + 1 \ge 4n{a_{n + 1}} - 4n\left( {n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{a_{n + 1}} - 2n - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\left( {luon\,dung} \right)\end{array}\)

Do đó ta luôn có: \(\sqrt {{S_{n + 1}}} - \sqrt {{S_n}} \ge 1\) nên luôn tồn tại số k thỏa mãn \(\sqrt {{S_{n + 1}}} > k \ge \sqrt {{S_n}} \)

Vậy \(b = {k^2}\) là số chính phương cần tìm.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link