Cho \({a_1} < {a_2} < .... < {a_n}\), n là số tự nhiên không âm, là các số nguyên dương và

Câu hỏi số 272677:

Vận dụng cao

Cho \({a_1} < {a_2} < .... < {a_n}\), n là số tự nhiên không âm, là các số nguyên dương và không có 2 số nào liên tiếp. Đặt \(S = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\). Chứng minh rằng luôn tồn tại 1 số chính phương b thỏa mãn: \({S_n} \le b \le {S_{n + 1}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272677

Giải chi tiết

Vì \({S_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \Rightarrow {S_{n + 1}} = {S_n} + {a_{n + 1}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {{S_{n + 1}}} - \sqrt {{S_n}} \ge 1\\ \Leftrightarrow {S_{n + 1}} \ge {\left( {\sqrt {{S_n}} + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {S_n} + {a_{n + 1}} \ge {S_n} + 2\sqrt {{S_n}} + 1\\ \Leftrightarrow {a_{n + 1}} \ge 2\sqrt {{S_n}} + 1\end{array}\)

Vì dãy số trên không có 2 số nào liên tiếp nên

\(\begin{array}{l}{a_{n + 1}} \ge {a_n} + 2\\{a_n} \ge {a_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {a_{n + 1}} \ge {a_{n - 1}} + 2.2\\.............\\{a_2} \ge {a_1} + 2 \Rightarrow {a_{n + 1}} \ge {a_1} + n.2\\ \Rightarrow n.{a_{n + 1}} \ge {a_1} + {a_2} + ..... + {a_n} + 2\left( {1 + 2 + 3 + .... + n} \right)\\ \Leftrightarrow n{a_{n + 1}} - n\left( {n + 1} \right) \ge {S_n}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {n{a_{n + 1}} - n\left( {n + 1} \right)} + 1 \ge 2\sqrt {{S_n}} + 1\end{array}\)

Ta sẽ chứng minh

\(\begin{array}{l}{a_{n + 1}} \ge 2\sqrt {n{a_{n + 1}} - n\left( {n + 1} \right) + 1} \\ \Leftrightarrow a_{n + 1}^2 - 2{a_{n + 1}} + 1 \ge 4n{a_{n + 1}} - 4n\left( {n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{a_{n + 1}} - 2n - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\left( {luon\,dung} \right)\end{array}\)

Do đó ta luôn có: \(\sqrt {{S_{n + 1}}} - \sqrt {{S_n}} \ge 1\) nên luôn tồn tại số k thỏa mãn \(\sqrt {{S_{n + 1}}} > k \ge \sqrt {{S_n}} \)

Vậy \(b = {k^2}\) là số chính phương cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link