a) Cho đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} + ax + b\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left(

Câu hỏi số 272679:

Vận dụng

a) Cho đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} + ax + b\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( 0 \right) > 3\). Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) = x\) có 2 nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm của \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = x\).

b) Cho \(A = {m^2}{n^2} - 4m - 2n\) với m, n là các số nguyên dương. Khi \(n = 2\) tìm m để A là số chính phương. Khi \(n \ge 5\) chứng minh rằng A không thể là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272679

Phương pháp giải

a) +) Từ \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \) Mối quan hệ giữa a và b, rút a theo b và thế vào phương trình \(f\left( x \right) = x\)

+) Đưa phương trình \(f\left( x \right) = x\) về dạng tích, giải phương trình.

+) Từ giả thiết \(f\left( 3 \right) > 0\), chứng minh phương trình \(f\left( x \right) = x\) có hai nghiệm phân biệt.

+) Đưa phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = x\) về dạng tích.

Giải chi tiết

a) Cho đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} + ax + b\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( 0 \right) > 3\). Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) = x\) có 2 nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm của \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = x\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 1 + a + b = 1 \Leftrightarrow a = - b.\\f\left( x \right) = x \Leftrightarrow {x^2} + ax + b = x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} - bx + b - x = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - b\left( {x - 1} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - b} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = b\end{array} \right.\\f\left( 0 \right) > 3 \Leftrightarrow b > 3 \Rightarrow b \ne 1\end{array}\)

Do vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}f\left( {f\left( x \right)} \right) = x \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + af\left( x \right) + b = x\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - bf\left( x \right) + b - x = 0\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - {x^2} - bf\left( x \right) + bx + {x^2} - bx + b - x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right) - x} \right)\left( {f\left( x \right) + x} \right) - b\left( {f\left( x \right) - x} \right) + f\left( x \right) - x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right) - x} \right)\left( {f\left( x \right) + x - b + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = x\\f\left( x \right) + x - b + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = x\\{x^2} - bx + b + x - b + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - \left( {b - 1} \right)x + 1 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x = 1;\,\,x = b\) (cmt).

Xét phương trình (2):

\(\Delta = {\left( {b - 1} \right)^2} - 4 = {b^2} - 2b - 3 = \left( {b + 1} \right)\left( {b - 3} \right) > 0\,\,\,\left( {Do\,\,b > 3} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có \(1 - \left( {b - 1} \right).1 + 1 = 3 - b < 0 \Rightarrow x = 1\) không là nghiệm của phương trình (2).

\({b^2} - \left( {b - 1} \right).b + 1 = b + 1 > 4 \ne 0 \Rightarrow x = b\) không là nghiệm của phương trình (2).

Vậy phương trình cần tìm có 4 nghiệm phân biệt.

b) Cho \(A = {m^2}{n^2} - 4m - 2n\) với m, n là các số nguyên dương. Khi \(n = 2\) tìm m để A là số chính phương. Khi \(n \ge 5\) chứng minh rằng A không thể là số chính phương.

Khi \(n = 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = 4{m^2} - 4m - 4 = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 5 = 4{k^2}\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 2k - 1} \right)\left( {2m + 2k - 1} \right) = 5\end{array}\)

TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2k - 1 = 1\\2m + 2k - 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\k = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2k - 1 = - 1\\2m + 2k - 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\k = - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

TH3 : \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2k - 1 = 5\\2m + 2k - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\k = - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

TH4 : \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2k - 1 = - 5\\2m + 2k - 1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\k = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy \(m = 2\).

Với \(n \ge 5,m = 1 \Rightarrow A = {n^2} - 2n - 4 = {\left( {n - 1} \right)^2} - 5 < {\left( {n - 1} \right)^2}\)

\(A = {n^2} - 2n - 4 = {\left( {n - 2} \right)^2} + 2n - 8 > {\left( {n - 2} \right)^2}\,\,\left( {Do\,\,n \ge 5} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {n - 2} \right)^2} < A < {\left( {n - 1} \right)^2}\). Do đó A không thể là số chính phương.

Khi \(m \ge 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = {m^2}{n^2} - 4m - 2n\\A = {\left( {mn - 1} \right)^2} + 2mn - 4m - 2n - 1\\A = {\left( {mn - 1} \right)^2} + 2\left( {n - 2} \right)\left( {m - 1} \right) - 5\\ \Rightarrow A \ge {\left( {mn - 1} \right)^2} + 2\left( {n - 2} \right) - 5\,\,\left( {Do\,\,m \ge 2 \Rightarrow m - 1 \ge 1} \right)\\ \Rightarrow A > {\left( {mn - 1} \right)^2}\,\,\left( {Do\,\,n \ge 5 \Rightarrow 2\left( {n - 2} \right) - 5 \ge 1} \right)\end{array}\)

Lại có \(A = {m^2}{n^2} - 4m - 2n < {\left( {mn} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {mn - 1} \right)^2} < A < {\left( {mn} \right)^2}\). Do vậy A không thể là số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link