Cho đường tròn (O) đường kính AB, M thuộc (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của A và M cắt nhau

Câu hỏi số 272681:

Vận dụng cao

Cho đường tròn (O) đường kính AB, M thuộc (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của A và M cắt nhau ở C. Đường tròn (I) qua M và tiếp xúc với AC tại C. Các đường CO và CB lần lượt cắt (I) tại E và F. Vẽ đường kính CD của (I), giao điểm DE và AB là K.

a) CMR: tam giác OCD cân và OEFK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác OEF và CED đồng dạng.

c) Đường thẳng đi qua 2 điểm của (O) và (I) cắt AC tại H. Chứng minh các đường AF, CK, OH đồng quy.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272681

Giải chi tiết

a) CMR: tam giác OCD cân và OEFK là tứ giác nội tiếp.

Ta có : \(\widehat {CMD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( I \right)\))

\(\widehat {CMO} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \) D, M, O thẳng hàng.

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB//CD\).

Do vậy : \(\widehat {OCD} = \widehat {COA} = \widehat {COD}\,\,\left( {slt} \right) \Rightarrow \) tam giác OCD cân tại D.

Mặt khác : \(\widehat {OCD} = \widehat {KEF}\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow \widehat {KOF} = \widehat {KEF} \Rightarrow \) tứ giác OFEK nội tiếp.

b) Chứng minh tam giác OEF và CED đồng dạng.

Ta có: \(\widehat {OME} = \widehat {ECD}\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {ECD} = \widehat {OBE}\,\,\left( {slt} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {OME} = \widehat {OBE} \Rightarrow \) tứ giác OMBE nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

Do đó: \(\widehat {OEB} = \widehat {OMB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB).

Mà \(OM = OB \Rightarrow \Delta OMB\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {OBM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} = \widehat {KOF} = \widehat {KEF}\)

\( \Rightarrow \widehat {OEB} = \widehat {KEF}\).

Mà \(\widehat {CED} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)

\( \Rightarrow \widehat {KEB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OEB} + \widehat {OEK} = {90^0} \Rightarrow \widehat {KEF} + \widehat {OEK} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OEF} = {90^0} \Rightarrow OE \bot OF\)

Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {OEF} = \widehat {CED} = {90^0}\\\widehat {OFE} = \widehat {CDE}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta CED \sim \Delta OEF\,\,\left( {g.g} \right)\)

c) Đường thẳng đi qua 2 điểm của (O) và (I) cắt AC tại H. Chứng minh các đường AF, CK, OH đồng quy.

Ta có tam giác OCD cân tại D (cmt) có \(DF \bot CO\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow FC = FO\) (đường cao đồng thời là trung tuyến) (1).

Tứ giác OEFK nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {OKF} + \widehat {OEF} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OKF} = {180^0} - \widehat {OEF} = {180^0} - {90^0} = {90^0} \Rightarrow OK \bot KF \Rightarrow AB \bot KF\)

Mà \(AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow FK//AC\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow KA = KO\) (Định lí đường trung bình của tam giác).

Áp dụng phương trình tích đường tròn ta có : \(H{C^2} = HN.HM = H{A^2} \Rightarrow HC = HA.\)

Do đó AF, CK, OH là 3 đường trung tuyến của tam giác ACO nên đồng quy.

Ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link