Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Điểm M di động bên trong tam giác thỏa mãn: \(\widehat {BMC} =

Câu hỏi số 272682:

Vận dụng cao

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Điểm M di động bên trong tam giác thỏa mãn: \(\widehat {BMC} = {120^0}\). Đường thẳng BM cắt AC ở Q và CM cắt AB ở P. Chứng minh rằng AP + AQ không đổi. Tìm GTLN của diện tích tứ giác APMQ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272682

Giải chi tiết

Kẻ MN là phân giác góc BMC.
\( \Rightarrow \widehat {NMP} = {120^0}\)
Xét tứ giác BNMP có : \(\widehat {NBP} + \widehat {NMP} = {60^0} + {120^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác BNMP là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
\( \Rightarrow \widehat {BPN} = \widehat {BMN} = {60^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN)
\( \Rightarrow \Delta BPN\) đều.
Tương tự ta cũng chứng minh được \(\Delta CNQ\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP//AQ\\NQ//AP\end{array} \right. \Rightarrow \) tứ giác NPAQ là hình bình hành (dhnb) \( \Rightarrow AQ = PN = BP\)
\( \Rightarrow AQ + AP = BP + AP = AB = 1 = const\)
Đặt \(PB = AQ = x \Rightarrow AP = CQ = 1 - x\)
Hai tam giác CMQ và CAP đồng dạng nên:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{S_{CMQ}}}}{{{S_{CAP}}}} = \dfrac{{CM.CQ}}{{CA.CP}} = \dfrac{{CM}}{{CP}}.\dfrac{{1 - x}}{1}\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{CAP}}}}{{CP}} = \dfrac{{{S_{CMQ}}}}{{\left( {1 - x} \right)CM}} = \dfrac{{{S_{CAP}} - {S_{CMQ}}}}{{CP - \left( {1 - x} \right)CM}} = \dfrac{{{S_{APMQ}}}}{{CP - \left( {1 - x} \right)CM}}\\\dfrac{{{S_{CAP}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AP.AC}}{{AB.AC}} = \dfrac{{1 - x}}{1}\\ \Rightarrow {S_{CAP}} = \left( {1 - x} \right){S_{ABC}}\\ \Rightarrow {S_{AMPQ}} = \dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left[ {CP - \left( {1 - x} \right)CM} \right].{S_{ABC}}}}{{CP}}\\ = \left( {1 - x} \right)\left[ {1 - \dfrac{{CM}}{{CP}}\left( {1 - x} \right)} \right]\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)

Gọi K là giao điểm NQ và PC.
Áp dụng định lý Tales ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{PM}}{{MK}} = \dfrac{{BP}}{{KQ}}\\\dfrac{{KQ}}{{AP}} = \dfrac{{CQ}}{{CA}}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{KQ}}{{1 - x}} = \dfrac{{1 - x}}{1} \Rightarrow \dfrac{{PM}}{{MK}} = \dfrac{x}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} \Rightarrow \dfrac{{PM}}{{PM + MK}} = \dfrac{x}{{x + {{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{{PM}}{{PK}}\\\dfrac{{PK}}{{CK}} = \dfrac{{AQ}}{{CQ}} = \dfrac{x}{{1 - x}} \Rightarrow \dfrac{{PK}}{{CP - PK}} = \dfrac{x}{{1 - x}} \Rightarrow PK = xCP \Rightarrow \dfrac{{PM}}{{CP}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\\ \Rightarrow \dfrac{{CP - CM}}{{CP}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{CM}}{{CP}} = \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - x + 1}}\\{S_{APMQ}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{x - {x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}} - 1} \right) \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\dfrac{4}{3} - 1} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}.\end{array}\)
Vậy GTLN của diện tích tứ giác APMQ là \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}\) xảy ra khi P là trung điểm của AB hay M là tâm của tam giác đều ABC.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link