Cho tam giác ABC với AB < AC ngoại tiếp đường tròn \(\left( O;R \right)\) Đường tròn \(\left( O;R

Câu hỏi số 273116:

Vận dụng

Cho tam giác ABC với AB < AC ngoại tiếp đường tròn \(\left( O;R \right)\) Đường tròn \(\left( O;R \right)\) tiếp xúc với các cạnh BC; AB lần lượt tại D, N. Kẻ đường kính DI của đường tròn \(\left( O;R \right)\) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O;R \right)\) tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E và F.

1) Chứng minh tam giác BOE vuông và \(EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}\)

2) Gọi P, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, AD. Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh \(AQ=2KP\)

3) Gọi A₁ là giao điểm của AO với cạnh BC, B₁ là giao điểm của BO với cạnh AC, C₁ là giao điểm CO với cạnh AB và \(\left( {{O}_{1}};{{R}_{1}} \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh \(\frac{1}{A{{A}_{1}}}+\frac{1}{B{{B}_{1}}}+\frac{1}{C{{C}_{1}}}<\frac{2}{R-O{{O}_{1}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273116

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

b) Chứng minh PK là đường trung bình của tam giác ADQ.

Giải chi tiết

1) Áp tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OE là OB lần lượt là phân giác của các góc \(\widehat{ION}\) và \(\widehat{NOD}\)

Mà \(\widehat{ION}\) và \(\widehat{NOD}\) là hai góc kề bù \(\Rightarrow OE\bot OB\Rightarrow \Delta BOE\) vuông tại O.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(EN.BN=O{{N}^{2}}={{R}^{2}}\)

Mà \(EN=EI;\,\,BN=BD\Rightarrow EI.BD={{R}^{2}}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Chứng minh tương tự ta có tam giác FOC vuông tại O và \(FI.CD={{R}^{2}}\)

Vậy \(EI.BD=FI.CD={{R}^{2}}\)

2) Ta có \(EF//BC\ \ \left( \bot ID \right)\) nên theo định lý Ta-let ta có : \(\frac{IF}{QC}=\frac{AF}{AC}=\frac{FE}{BC}\ \ \ \ \left( 1 \right)\)

Lại có : \(EI.BD=FI.CD\ \ \left( cmt \right)\Rightarrow \frac{FI}{BD}=\frac{EI}{CD}=\frac{FI+EI}{BD+DC}=\frac{EF}{BC}\ \ \ \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{FI}{QC}=\frac{FI}{BD}\Rightarrow QC=BD.\)

Mà \(CP=CQ+QP,\ \ BP=DB+DP,\ \ CP=PB\Rightarrow QP=PD.\)

Hay \(P\) là trung điểm của đoạn \(QD.\)

Xét \(\Delta ADQ\) có \(P\) là trung điểm của \(QD\ \ \ \left( cmt \right)\) và \(K\) là trung điểm của \(AD\ \ \left( gt \right).\)

\(\Rightarrow PK\) là đường trung bình của \(\Delta AQD.\)

\(\Rightarrow PK=\frac{1}{2}AQ\ \ hay\ \ AQ=2PK\ \ \ \left( dpcm \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link